2.2.5 Поступательное движение тел переменной массы

а) общий случай:

Поскольку m = f(t) , v = f(t) , то dP/dt = d(mv)/dt =v(dm/dt)+m(dv/dt).

Следовательно: F = v(dm/dt) + m(dv/dt) – уравнение движения тела переменной массы в общем виде.

б) частные случаи:

Мещерский И.В. (1859 - 1935), решая задачу движения относительно ракеты, получил dP = mdv + udm, гдеu- скорость истечения газов относительно ракеты.

Тогда: dP/dt = m (dv/dt) + u (dm/dt) = F.

Откуда: m (dv/dt) = F - u (dm/dt), где v - скорость ракеты относительно земли, u(dm/dt) = F_р- реактивная сила.

Следовательно, изменение импульса: m (dv/dt) = F + F_р-уравнение движения тела переменной массы.

Циолковский К.Э.(1857 - 1935), положив F = 0, получил: m(dv/dt) = - u (dm/dt), откуда, после интегрирования, следует, что

v = u ln (m_о/m).

Это - уравнение, описывающее изменение скорости ракеты vв зависимости от скорости истечения газаu, начальнойm_ои конечнойmмасс.

Применение закономерностей поступательного движения тел переменной массы для решения типичных задач пожарной безопасности:

Определение усилия креплениягазогенераторов объемного пожаротушения, которые представляют собой закрепленный твердотопливный реактивный двигатель (ТРД), возможно из условий v = 0, F0 (реактивная сила).

Тогда m (dv/dt) = 0; F - u (dm/dt) = 0; F = u (dm/dt).

Решение последнего уравнения дает:

tm

F dt = u dm;  F = - u (m_o - m)/(t - t_o).

t_o m_o

Для m = 0, t_o = 0, max F = - u m_o/t.

Определение усилия полного заторможенного состоянияпожарной установки на самоходном шасси с ГТД для срыва пламени в очаге пожара - это разновидность решения для ранее рассмотренного случая, с закрепленным ТРД.

Определение усилия подтормаживанияF_тэтой же установки при сдувании горящей жидкости (mсonst, vсonst):

а) исходное уравнение Мещерского: F_т=m(dv/dt) +u(dm/dt);

б) интегрируя его по t, v, m, получим

F_т = dt = m dv + u dm

t₁ v₁ m₁

или F_т= (u(m₂-m₁) +m(v₂ -v₁)) / (t₂ -t₁);

в) по условиям эксплуатации v₂v₁, тогда: F_т= u (m₂- m₁)/(t₂ - t₁),

где (t₂-t₁) =t0;

г) максимальное усилие будет при m₂= 0, m₁= m_о, ; F_т= - u m_o/ (t₂- t₁),

где (t₂- t₁) =t0.

Определение инерционных усилийкривошипно-шатунного механизма поршневых д.в.с., насосов и компрессоров возможно из условия: m (dv/dt) = F, т.к.m=сonst,аv=rsin(см.[3], тема 3, п.п.2.2). Тогдаdv/dt=r²cos.

F_ин=mr²cos;maxF_ин=mr² будет при= 0,,..., т.е. в верхней и нижней мертвых точках.

2.3 Уравнения динамики вращательного движения.

2.3.1 Закономерности вращательного движения тел

Определяющими величинами вращательного движения тел являются шесть разновидностей моментов инерции, силы и импульса.

Наименование моментов, координаты их привязки, принятые условные обозначения, графические и алгебраические модели представлены в таблице:

Практическое применение закономерностей для решения типичных задач пожарной безопасности:

Нарушение балансировкироторов насосов и колес автошасси приводит к возникновению дополнительных величин моментов импульса и силы относительно оси вращения из-за наличия неуравновешенной массыm_н.

Для устранения этого явления проводят статическую и динамическую балансировку вращающихся деталей путем снятия лишней массы или добавлением ее;

Расчет и оценка устойчивостипожарной автотехники на поворотах при различных условиях движения: R_пов> R_уст – введение ограничений по скорости движения и величине загрузки.

При расчете величины теоретического напора центробежных насосов используют понятие момента количества движения. Его изменение за время движения вдоль лопатокM = m c₂l₂- m c₁l₁. После преобразований на его основе получают теоретический напор H_т:

H_т=(c_2ur₂- c_1ur₁)/g