2. Основные законы механики

2.1 Кинематика поступательного движения тел

Виды поступательного движения тел: прямолинейное, криволинейное, равномерное и неравномерное.

Основные уравнения кинематики поступательного движения

Поскольку в общем случае r =S (гдеr = r₂- r₁), то по аналогии со скалярной формой, можно записать:

v =lim(r/t) =dr/dt – мгновенная скорость;

a =lim(v_ср/t) =dv/dt=d²r/dt² - мгновенное ускорение;

Уравнения (v =dr/dt; a =d²r/dt²) называют кинематическими уравнениями движения материальной точки;

Обобщённые координаты, независимые между собой параметры q_i (r = 1, 2,..., s) любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в обобщенных координатах даётся s уравнениями вида q_i = q_i (t), где t — время.

Обобщённые координаты используются при решении многих задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число уравнений, описывающих движение системы, по сравнению, например, с уравнениями в декартовых координатах.

Интегрируя уравнения a = dv/dt, v = dS/dt (в пределах от 0 до t), получим:

= +; S= +) dt = +;

Горизонтальная и вертикальная составляющие поступательного движения

Изобразим участок траектории , где вектор элементарного перемещения направлен под углом к оси; откуда получим:dx = r cos;dу = r sin;

. Разделив dx и dу на , найдем

. , гдеи- величины вектора скорости по осями. Очевидно, что. Для пространственного случаяи тогда. Поскольку, тоdS_x=_x^.dt.

Из изложенного выше (= +; S= +) dt = +) следует, что: = +; S= +. Аналогично можно записать для вертикальной оси координат: _у = _у +; S= +.

2.1.1 Кинематика криволинейного движения тел

При криволинейном движении в момент времениtтело находилось в точке А и имело линейную скорость. Черезtоно оказалось в точке В, т.е. вектор линейной скорости изменил свое первоначальное положение, пройдя путь, равный. При этом она повернулось на угол, равный, или/R. Действуя по правилам сложения и разложения векторных величин, получим график, где- нормальная составляющая,- касательная (тангенциальная) составляющие линейной скорости:

ОА =R, ОВ = R_В – радиусы кривизны траекторий в точках А и В. Поскольку, то ОА = ОВ =R. Из подобия треугольников АОВ и ЕАD (взаимно перпендикулярные стороны) следует: . Поскольку длина хорды АВ =, то предыдущее соотношение сведется к виду:. Из него следует:

. При , имеем, и поскольку, то.

нормальная составляющая ускорения, направлена по нормали к траектории, называют также - центростремительным ускорением.- тангенциальное ускорение. Полное ускорение

.

В зависимости от величин нормального и тангенциального ускорений, движение точки(тела) можно классифицировать на (целесообразно использовать слайд):1- прямолинейное равномерное (=0,), 2-прямолинейное неравномерное (==,), 3- прямолинейное с переменным ускорением () и т.д. (см. Трофимова, п.3)

2.1.2 Кинематика вращательного движения тел

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой - оси вращения. При переходе из положения 1 в 2 за время точка переместится на угол. Отношение/=- средняя угловая скорость,lim(/) ==- мгновенная угловая скорость, псевдовектор которой – коаксиален, совпадает с направлением вращения правого винта (буравчика), может быть приложен в любой точке на оси вращения.

Длина пути (дуги)S=R(из синуса малых углов). Разделив на, получимS/=R/или=R, дляdt: мгновенное значение линейной скорости точки=R. Разделив его на, получим соотношение, т.е. между касательным (тангенциальным) ускорениемлинейной скорости и ускорениемвращательного движения имеется связь:=R. Из рассмотрения криволинейного движения следует, что. Учтя, что=R, получим=. Общность кинематики поступательного и вращательного движений можно проследить, пользуясь методом аналогий:

длина пути Sугол поворота;

линейная скорость v=S/tугловая скорость=/t, их связьv=R;

линейное ускорение a=v/tугловое ускорение=/t, их связь:a=R.a_n=R².

-для равномерного вращения = 2n,T= 2/, гдеn- число оборотов в единицу времени;

-правило правого винта для определения направления векторови.

Типичная задача кинематики поступательного движения - определение дальности полета тел (например, гранаты и снаряда с огнетушащим веществом или струи воды), вылетающих из устройств под некоторым углом к горизонту. При таком движении, помимо горизонтальных составляющих, появляются вертикальные составляющие.

Воспользуемся ранее рассмотренными уравнениями:

S = v_ot + at²/2; S_х = v_охt = v_оt cos; S_у = v_оуt - gt²/2 ;

v = v_o + at ; v_ox = v_oсos; v_oу = v_оsin;

из начального условия S_уо= 0,имеем:

v_оуt = gt²/2 = 0; откуда t = 2v_оу/g .

тогда S_x=v_ox(2v_oy/g). Окончательно дальность полета S_x= (2v_o² sincos)/g.