
- •Предисловие
- •Глава 1 функция
- •1.1. Переменная величина
- •1.2. Понятие функции
- •1.3. Область определения и изменения функции
- •1.4. Последовательность
- •1.5. График функции
- •1.6. Способы задания функции
- •1.7. Основные элементарные функции
- •1.8. Сложная функция
- •1.9. Обратная функция
- •1.10. Элементарные функции
- •1.11. Явные и неявные функции
- •1.12. Основные характеристики функции
- •Четные и нечетные функции
- •Периодические функции
1.2. Понятие функции
Для исследования различных явлений полезно знать, как изменение одних величин влияет на другие величины.
Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между двумя (несколькими) переменными величинами при их совместном изменении, или установлением зависимости между элементами двух (нескольких) множеств.
Определение.
Пусть даны две
переменные х
и y
с областями изменения Х
и Y.
Переменная y
называется функцией
от х,
если по некоторому правилу или закону
каждому значению
ставится в соответствие одно определенное
значение
.
Для указания этого
факта, что y
есть функция от х,
пишут:
,
,
и т.п.
Можно также сказать,
что функция f
отображает
множество Х
на множество Y.
Это обозначается так
(рис.1.1).
Рис. 1.1
Переменная х называется независимой переменной или аргументом.
Переменная y называется зависимой переменной или функцией.
Относительно самих величин х и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.
1.3. Область определения и изменения функции
Определение.
Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция y определена, называется областью определения или областью существования этой функции.
Определение.
Множество Х
называется областью
определения
функции и обозначается
.
Обычно областью определения функции являются:
отрезок (сегмент или замкнутый промежуток)
;
интервал (открытый промежуток)
;
полуоткрытые интервалы (полуоткрытые отрезки)
;
;
бесконечные интервалы (промежутки)
;
;
;
;
,
где
,
и
.
Например, для функций:
1)
;
2)
.
Область определения функции может состоять из одного или нескольких промежутков и из отдельных точек.
Определение.
Множество значений
Y
называется областью
изменения
или областью значений функции, и
обозначается
.
Область изменения функции (множество ее значений) определяется законом соответствия.
Например, для функций
1)
;
;
2)
;
.
Определение.
Функция
называетсячисловой
функцией, если ее область определения
и множество значений
содержатся в множестве действительных
чиселR.
В дальнейшем будем
изучать лишь числовые функции. Частное
значение функции
при
записывается так:
.
Например, если
,
то
,
,
и т.п.
1.4. Последовательность
Определение.
Функция, определенная
на множестве натуральных чисел
,
называетсяпоследовательностью.
Значения функции
т.е. элементы множества
называются членами последовательности,
а
– общим членом последовательности.
Последовательность
обычно обозначают через
или
.
Например,
;
.
1.5. График функции
Для наглядного представления функции строят ее график.
Определение.
Графиком функции
называется множество всех точек плоскости
,
для каждой из которыхх
является значением аргумента,
а y
– соответствующим значением функции.
Например, графиком
функции
является верхняя полуокружность радиуса
с центром в
(рис. 1.2).
Рис. 1.2
1.6. Способы задания функции
Задать функцию – это значит указать правило, позволяющее по данному значению независимой переменной находить соответствующее значение функции.
Существует три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами задается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей, какие и в каком порядке действия надо выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.
Например,
;
;
,
где
.
Аналитический способ является наиболее совершенным, т.к. к нему могут быть применены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.
Табличный способпредусматривает задание таблицы, в
которой различным значениям аргументапоставлены соответствующие значения
функции
:
х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
y |
y1 |
y2 |
… |
yn |
Такие таблицы составляются, например, по данным эксперимента; для облегчения вычислений с часто встречающимися функциями (таблицы логарифмов, таблицы тригонометрических функций и т.д.).
Графический способзадания функции состоит в том, что в данной системе координат задается некоторая кривая. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.