semestr_2_IVT_iatan_2012-2013 / Вопросы к экзамену 2 сем 12-13

Вопросы к экзамену

2 семестр

ИВТ 2012-2013

Математический анализ

Модуль 1 Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Пределы.

1. Множества.

2. Определение функции, способы задания. Область определения, множество значений, периодичность, монотонность, ограниченность, промежутки знакопостоянства.

3. Основные элементарные функции, параметрическое задание функции. Обратные функции.

4. окрестность точки.

5. Предел числовой последовательности.

6. Предел функции (справа, слева, в точке, на бесконечности).

7. Основные теоремы о пределах.

8. Раскрытие различных типов неопределенностей.

9. Первый и второй замечательные пределы.

10. Бесконечно-малые величины, основные теоремы, классификация, эквивалентные б.м. величины.

11. Односторонние пределы, непрерывность функций.

12. Классификация точек разрыва.

Производная.

13. Определение, геометрический и механический смысл. Правила вычисления производной.

14. Производная элементарных функций, сложной функции, неявной, параметрической функции.

15. Логарифмическое дифференцирование.

16. Производные высших порядков (СР).

17. Определение дифференциала, геометрический смысл, свойства, инвариантность, применение к приближенным вычислениям.

18. Теорема Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя вычисления пределов.

19. Исследование функций на экстремум с помощью первой и второй производной, выпуклость, вогнутость. Асимптоты.

20. Дифференциальная геометрия кривых: кривизна кривой, радиус кривизны. (СР МУ 10)

Модуль 2.

Неопределенный интеграл.

21. Первообразная. Определение.

22. Интегрирование по частям и способ замены переменной в неопределенном и определенном интеграле.

23. Интегрирование рациональных дробей и квадратных трехчленов. Теоремы о разложении рациональных дробей на простейшие ( формулировки ).

24. Универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t. Использование подстановки tgx =t для интегрирования тригонометрических функций.

25. Вычисление интегралов типа

26. Интегрирование иррациональных функций, использование тригонометрических подстановок.

27. Интегрирование трансцендентных функций.

28. Интегрирование иррациональных функций, Бином Ньютона.(СР).

29. Мера плоского множества.

Определенный интеграл.

30. Определение и вычисление определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница. Свойства.

31. Несобственные интегралы по бесконечным пределам интегрирования - определения, теоремы о сходимости.

32. Несобственные интегралы от разрывных функций, определения.

33. Вычисление площади области - случай явного и параметрического задания функций.

34. Вычисление площади области - случай полярных координат.

35. Вычисление длины дуги кривой - случай явного, параметрического задания функций, полярных координат.

36. Вычисление объема тела вращения (вокруг оси Ох, Оу).

37. Численные методы вычисления интегралов. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. (СР)

Модуль 3.

Дифференциальные уравнения.

38. ДУ 1-го порядка - определение общего, частного решения, ДУ в разделенных переменных. Задача Коши, уравнение Бернулли.

39. Однородные и линейные ДУ 1-го порядка.

40. ДУ 2-го порядка - определение общего, частного решений. ДУ, допускающие понижение порядка.

41. Линейное ДУ 2-го и n-го порядка, классификация, определения общего и частного решения. Структура общего решения однородного уравнения.

42. Фундаментальная система решений для однородного линейного ДУ 2-го и п-го порядков.(СР).

43. Общее решение однородного линейного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (случаи разных, равных, комплексных корней характеристического уравнения ).

44. Общее решение однородного линейного ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

45. Структура общего решения неоднородного линейного ДУ с постоянными коэффициентами 2-го и n-го порядка.

46. Отыскание частного решения неоднородного линейного ДУ с постоянными коэффициентами 2-го и n-го порядка.

47. Системы ДУ (СР).

48. Метод Эйлера решения дифференциального уравнения 1 порядка. (СР)

Функции нескольких переменных.

49. Функции двух переменных - определение, способы задания, графики и непрерывность.

50. Частное и полное приращение функции двух переменных. Определение частных производных и полного дифференциала первого порядка.

51. Производная сложной и неявной функций.

52. Производные высших порядков функции нескольких переменных, теорема о равенстве смешанных производных.

53. Производная по направлению, градиент.

54. Экстремум функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия

55. Условные экстремумы. (СР)

56. Задачи на наибольшее и наименьшее значение ФНП. (СР)

57. Метод наименьших квадратов. (СР)

СР-самостоятельное изучение!