Двойные интегралы.

2.33. Вычислить

,

где область ограничена прямыми

Решим пример двумя способами.

	Первый способ. Выполним внутреннее интегрирование по , а внешнее по, тогда получим . Вычислим внутренний интеграл:

.

Подставляя найденное значение в выражение для , получим

.

Второй способ. Внутреннее интегрирование выполним по переменной , а внешнее - по переменной. Заметим, что при этом областьмы должны разбить на две областии, следовательно, двойной интеграл выразится в виде суммы таких двух повторных интегралов:

Итак, окончательно получим .

2.34. Найти часть площади поверхности цилиндра , вырезанной из него плоскостями

Решение.

	Цилиндр имеет образующую, параллельную оси, а направляющей является параболав плоскости. Плоскостипроходят через начало координат и через ось, а плоскостьпроходит параллельно плоскости. Они вырезают из цилиндрической поверхности некоторую часть.

Проекция этой части на плоскость представляет собой треугольник, который и является областью интегрирования. При переходе к повторному интегралу надо вести внутреннее интегрирование по, а внешнее по. Находим.

Вычисляем площадь поверхности:

.

1.4. Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями

Решение. Находим массу, которая при численно равна площади:

Находим статические моменты пластинки:

Итак, центр тяжести имеет координаты:

.

Положение центра тяжести помечено на рисунке.

Модуль 3. Дифференциальные уравнения

3.1 Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

- это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Если заданы начальные условия у(х₀) = у_{0 ,}допустимx₀= 1;y₀= 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши):

3.2Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:Найти особое решение, если оно существует.

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решениеу= 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решениеy = 0 можно получить из общего решения приС₁ = 0 ошибочно, ведьC₁ = e^C  0.

3.3Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:

это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную.

3.4 Найти решение дифференциального уравненияпри условии у(2) = 1.

Решение:

при у(2) = 1 получаем

Итого: или- частное решение;

3.5 Решить уравнение.

Решение:

Получаем общий интеграл:

3.6 Решить уравнение.

Решение:Введем вспомогательную функциюu.

.

Отметим, что введенная нами функция uвсегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее.

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

3.7 Решить уравнение

Решение:Получаем

Находим значение определителя .

Решаем систему уравнений

Применяем подстановку в исходное уравнение:

Заменяем переменную при подстановке в выражение, записанное выше, имеем: