Модуль 2. Интегрирование функции одной переменной.

2.1Вычислить интеграл

2.2Вычислить интеграл

2.3Вычислить интеграл

2.4 Найти неопределенный интеграл.

Решение. Сделаем заменуt = sinx, dt = cosxdt.

2.5Вычислить интеграл

Решение. Замена Получаем:

2.6

2.7Вычислить интеграл

2.8Вычислить интеграл

2.9Вычислить интеграл

Решение. Т.к. (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Итого:

2.10Вычислить интеграл

Решение. Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x⁵– 8x⁴– 25x³+ 20x²– 76x– 7 3x³– 4x²– 17x+ 6

6x⁵– 8x⁴– 34x³+ 12x²2x²+ 3

9x³ + 8x² – 76x - 7

9x³ – 12x² – 51x +18

20x² – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x³– 4x²– 17x+ 6x- 3

3x³– 9x²3x²+ 5x- 2

5x²– 17x

5x²– 15x

- 2x+ 6

-2x+ 6

0

Таким образом 3x³– 4x²– 17x+ 6 = (x– 3)(3x²+ 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2 )(3x– 1). Тогда:

В полученное выше выражение подставим поочередно 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

=

2.11 Вычислить интеграл

2.12Вычислить интеграл

2.13Вычислить интеграл

2.14Вычислить интеграл

2.15Вычислить интеграл

2.16Вычислить интеграл

2.17Вычислить интеграл

2.18 Вычислить интеграл

2.19Вычислить интеграл

2.20Вычислить интеграл

2.21Вычислить интеграл

2.22 Вычислить определенный интеграл

2.23Вычислить определенный интеграл

2.24 Вычислить несобственный интеграл

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

2.25 Вычислить несобственный интеграл

- интеграл сходится

2.26 Вычислить несобственный интеграл

2.27 Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиy=x,y=x²,x= 2.

Решение. Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

2.28 Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсомx=cost, y=2sint.

Решение. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданнойпараметрически

, прямымиx=a, x=bи осью Ох, то площадь ее находится по формуле

,

где αиβопределяются из равенствх(α)=аих(β)=b.

Найдем сначала ¼ площади S. Здесьхизменяется от 0 до 1, следовательноtизменяется от π/2 до 0. Находим:

(кв.ед.)

(кв.ед.)

2.29 Найти площадь фигуры, ограниченной линиейr=cos3φ.

Решение. Площадь будем находить по формуле

2.30 Найти длину окружности, заданной уравнениемx²+y²=r².

Решение.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда из формулы следует

Тогда S= 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ.Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим:r²cos²+r²sin²=r², т.е. функция=f() =r, тогда из формулы следует

3. способ.Если задать окружность параметрически, тогда

и, следовательно

2.31 Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиямивокруг оси Оу.

Решение. Находим:

2.32 Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

Решение. По формуле Симпсона получим:

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f(x)	2.828	3.873	4	4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

Точное значение этого интеграла – 91.173.