Математический анализ

Э с

2 семестр

Тренировочные задачи и упражнения

Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных.

Теория пределов.

1.1 Доказать, что предел последовательностиlim .

Решение. Пусть приn>Nверно , т.е.. Это верно при, таким образом, если заNвзять целую часть от, то утверждение, приведенное выше, выполняется.

1.2 Доказать, что последовательность {x_n}=монотонная возрастающая.

Решение. Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к.nN, то знаменатель положительный при любомn.

Таким образом, x_n+1>x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

1.3 Найти предел .

Решение. При подстановке значения х, получаем неопределенность. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя нах⁴:

1.4 Найти предел.

Решение. При подстановке значения х, получаем неопределенность. Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2 ; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

1.5 Найти предел

Решение. При подстановке значения х, получаем неопределенность. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

=.

6. Найти предел.

Решение. Для вычисления предела воспользуемся Первым замечательным пределом

1.7 Найти предел.

Решение. Для вычисления предела воспользуемся Вторым замечательным пределом

1.8 Найти предел

Решение. Так какtg5x~ 5xиsin7x~ 7xпри х0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

1.9 Найти предел.

Решение.

Так как 1 – cosx= при х0, то.

1.10 Найти предел .

Решение. Так как~при, то

1.11 Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

Решение.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Производная.

1.12 Найти производную функции.

Решение. Сначала преобразуем данную функцию:

1.13 Найти производную функции.

Решение.

14. Найти производную функции

Решение.

14. Найти производную функции

Решение.

1.15 Найти производную функции .

Решение. По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

1.16 Найти производную функцииу, заданную уравнениемх³+у³-3ху=0.

Решение. Функцияузадана неявно. Дифференцируем похравенствох³+у³-3ху=0. Из полученного соотношенияследует, что, т.е.

.

1.17 Пусть. Найти.

Решение. Имеем, следовательно, т.е..

1.18 Найти производную второго порядкадля функции.

Решение. Найдем сначала производную первого порядка данной функции:

Полученный результат продифференцируем еще раз:

1.19 Найти предел.

Решение. Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f(x) = 2x+ ;g(x) =e^x;

20. Найти предел .

Решение.

; ;

- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

1.21 Найти предел.

Решение. Здесьy=x^x,lny=xlnx.

Тогда . Следовательно

1.22 Исследовать функциюи построить ее график.

Решение. Находим область существования функции. Очевидно, чтообластью определенияфункции является область (-; -1)(-1; 1)(1;).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотамикривой.

Областью значений данной функции является интервал (-;).

Точками разрывафункции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x= 0;x= -;x= ;x= -1;x= 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-<x< -,y< 0, кривая выпуклая

-<x< -1,y< 0, кривая выпуклая

-1 < x< 0,y> 0, кривая вогнутая

0 < x< 1,y< 0, кривая выпуклая

1 < x< ,y> 0, кривая вогнутая

<x<,y> 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания иубыванияфункции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-<x< -,y> 0, функция возрастает

-<x< -1,y< 0, функция убывает

-1 < x< 0,y< 0, функция убывает

0 < x< 1,y< 0, функция убывает

1 < x< ,y< 0, функция убывает

<x<,y> 0, функция возрастает

Видно, что точка х = -является точкоймаксимума, а точка х = является точкойминимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

Про вертикальные асимптотыбыло уже сказано выше. Теперь найдемнаклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y=x.

Построим графикфункции:

1.23.Найти кривизну дугиплоской кривой

,

изображенной на рис.

Решение.Найдем производныеx, yпервого и второго порядков по переменнойt:

Подставив найденные производные в формулу

получим кривизну кривой равную:

1.24.Найти кривизну и радиус кривизны линиив точке.

Решение. Используем формулу для кривизныи радиуса. Вычислив первую и вторую производные и подставив туда значения для х, получим,.

1.25. Найти область определения функции.

Решение. Для нахожденияD(y) необходимо решить систему неравенств

В результате получаем .

Функции нескольких переменных.

1.26 Найти частные производные функции

Решение:

1.27 Найти частные производные второго порядка функции

Решение:Так как, то

1.28Найти полный дифференциал функции .

Решение:

1.29 Найти полный дифференциал функции

Решение:

30. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1).

Решение:

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

30. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функцииприx= 1,y= 2,z= 1.

Решение:Из заданного выражения определимx= 1,04 – 1 = 0,04,y= 1,99 – 2 = -0,01,

z= 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x,y,z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции uравен:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

30. Найти экстремум функции f(x,y) =xy, если уравнение связи: 2x+ 3y– 5 = 0

Решение:

Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

30. Вычислить производную функции z=x²+y²xв точке А(1, 2) по направлению вектора. В (3, 0). Вычислить градиент этой функции в точке А.

Решение.Прежде всего необходимо определить координаты вектора.

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:=

Находим частные производные функции zв общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Тогда градиент функции имеет вид:

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:=

За величину принимается орт вектора.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cos= ;cos= -

Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора.

30. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.Область определения— вся числовая плоскость,дифференцируема в каждой точке.

1. Определим стационарные точки .

Отсюда

Получили три стационарные точки:

2. Эти точки исследуем на достаточность условий экстремума. Сначала определим отдельно

А теперь для каждой точки вычислим соответствующие , определим знаки величини.

1. , т.е.не является точкой экстремума.

2. т.е.не является точкой экстремума.

3. . При этом. Вывод:— точка локального минимума функциис

Ответ:

30. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями:,,,

Решение.

Здесь ,. Находим все критические точки: Решением системы являются точки .

Ни одна из найденных точек не принадлежит области .

2. Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков.

На участке где,

. Значения функции.

На участке ,,

. Значения функции.

На участке ,

. Значения функции.

На участке ,,

. Значения функции.

3. Сравнивая полученные результаты, имеем: .

30. Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, число точек . Требуется построить прямую с уравнением, чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек в смысле наименьших квадратов.

X	-1	0	1	2	3	4
Y	0	2	3	3,5	3	4,5

Для того, чтобы построить прямую, «сглаживающую» данные точки (они не лежат на одной прямой). Для этого достаточно решить систему уравнений . Для удобства расчетов строим рабочую таблицу

№
1 2 3 4 5 6	-1 0 1 2 3 4	0 2 3 3,5 3 4,5	1 0 1 4 9 16	0 0 3 7 9 18	0,81 1,55 2,29 3,03 3,77 4,51	0,81 -0,45 -0,71 -0,47 0,77 0,01	0,6561 0,2025 0,5041 0,2209 0,5929 0,001
	9	16	31	37			2,1766

Первый столбец обозначает номер по порядку записи точек. Из сумм столбцов при составляются коэффициенты системы для определения параметровипрямой. Система имеет вид:

Решим ее методом определителей (Крамера):

Искомое уравнение .