Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
16
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
324.98 Кб
Скачать

Раздел I

Физические основы механики

Механика – часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Механиче-

ское движение – это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.

Развитие механики как науки начинается с III в. до н.э., когда древнегрече-

ский ученый Архимед (287–212 гг. до н.э.) сформулировал закон равновесия ры-

чага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установле-

ны итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564–1642) и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643–1727).

Механика Галилея-Ньютона называется классической механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света с, изучаются релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности, сформулиро-

ванной А. Эйнштейном (1879–1955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприемлемы – они заменяются законами квантовой механики.

В первой части нашего курса мы будем иметь дело с механикой Галилея-

Ньютона, т.е. будем рассматривать движение макроскопических тел со скоростя-

ми, значительно меньшими скорости с. В классической механике общепринята концепция пространства и времени, разработанная И. Ньютоном, и господство-

вавшая в естествознании на протяжении XVII-XVIII вв. Механика Галилея-

Ньютона рассматривает пространство и время как объективные формы существо-

вания материи, но в отрыве друг от друга и от движения материальных тел, что соответствовало уровню знаний того времени.

Механика делится на три раздела:

1)кинематика;

2)динамика;

3)статика.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливают.

Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Статика изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.

Глава 1

Элементы кинематики

§ 1

Модели в механике. Система отсчета.

Траектория, длина пути, вектор перемещения

Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкрет-

ных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью являет-

ся материальная точка тело, обладающее массой, размерами которого в дан-

ной задаче можно пренебречь.

Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек.

Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких услови-

ях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точ-

ками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.

Поступательное движение это движение, при котором любая прямая,

жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первона-

чальному положения.

Вращательное движение это движение, при котором все точки тела дви-

жутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, назы-

ваемой осью вращения.

Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета.

Система отсчета это совокупность системы координат и часов, связан-

ных с телом отсчета.

В общем случае движение материальной точки А (рис. 1) определяется скалярными

уравнениями

x = x(t),

 

 

 

(1.1)

y = y(t),

z = z(t),

 

 

 

 

эквивалентными векторному уравнению

 

R

R

(1.2)

r

= r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ,

Уравнение (1.1) (соответственно (1.2)) называются кинематическими

уравнениями движения материальной точки.

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки

в пространстве, называется числом степеней свободы.

Траектория движения материальной точки –

линия, описываемая этой точкой в пространстве.

Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета

времени, называется длиной пути

s

и является

скалярной функцией времени: s =

s(t) (рис. 2)

Вектор

r = r r0 , проведенный

из

начального

положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называ-

ется перемещением.

При прямолинейном движении

R =

r s .

§ 2

Скорость

Скорость векторная величина, которой определяется как быстрота дви-

жения, так и его направление в данный момент времени.

 

R

называется отношение перемещения r

Вектором средней скорости v

радиус-вектора точки к промежутку времени t (рис. 3):

 

R

 

R

r

(2.1)

v =

,

 

t

 

Мгновенная скорость v это векторная величина, равная первой производной радиуса вектора движущейся точки по времени (рис. 3)

 

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

r

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = lim

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→0

t

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

s

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

v =

v

 

=

lim

 

 

= lim

 

 

 

 

 

= lim

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→0 t

 

t→0

 

t

 

 

t→0 t

 

dt

 

 

 

 

 

Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени

v =

ds

,

(2.2)

 

 

dt

 

Средняя скорость неравномерного движения равна:

v =

 

s .

 

 

 

 

t

 

Найдем длину пути, пройденного точкой за время

t :

t+

t

 

s = vdt .

(2.3)

t

В случае равномерного движения численное значение мгновенной скоро-

сти постоянно, тогда выражение (2.3) примет вид

t+ t

s = v dt = v t .

t

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2 , дается интегралом

t2

s = vdt .

t1

§ 3

Ускорение и его составляющие

Физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорением.

Средним ускорением неравномерного движения на интервале от t до t + t ,

называется векторная величина, равная отношению изменения скорости v к ин-

тервалу времени t :

R

a .

R = v

t

Мгновенное ускорение a есть векторная величина, равная первой

производной скорости по времени

 

 

R

 

R

R

R

v

 

dv

a = lim

a

= lim

=

 

.

 

t→0

 

t→0 t

 

dt

Разложим вектор v на две составляющие (рис. 4)

 

R

R

R

,

 

 

v =

vτ +

vn

 

 

R

 

 

R

харак-

где vτ

определяет изменение скорости по модулю за время t ; vn

теризует изменение скорости за время t по направлению.

Тангенциальная составляющая уравнения направлена по касательной к траектории движения частицы и равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю

a

τ

= lim

vτ = lim

v =

dv

.

 

 

t0

t

t0

t dt

 

 

Нормальной составляющей ускорения

направление по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют так же цен-

тростремительным ускорением) и определяется

выражением

a

 

= lim

vn =

v2

.

n

 

 

t0

t

r

 

 

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нор-

мальной составляющих (рис.5):

 

R

 

R

dv

R R

a =

 

= aτ + an .

dt

 

 

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1)aτ = 0 , an = 0 – прямолинейное равномерное движение;

2)aτ = a = const , an = 0 – прямолинейное равнопеременное движение;

3)aτ = f(t), an = 0 – прямолинейное движение с переменным ускорением;

4)aτ = 0 , an = const – равномерное движение по окружности;

5)aτ = 0 , an ¹ 0 – равномерное криволинейное движение;

6)aτ = const , an ¹ 0 – криволинейное равнопеременное движение;

7)aτ = f(t), an ¹ 0 – криволинейное движение с переменным ускорением.

Задача 1. Движение точки по прямой задано уравнением x = At + Bt2 , где

A = 2 м/с , B = −0,5 м/с2 . Определить среднюю путевую скорость v движения

точки в интервале времени от t1 =1 с до t2 = 3 с .

Решение. Средняя путевая скорость точки определяется выражением

v = S , t

где t = t2 t1 – интервал времени, в течение которого точка проходит путь S .

Для определения пройденного пути S воспользуемся уравнением движения

x = 2t − 0,5t2 , из которого видно, что в некоторый момент времени точка меняет направление своего движения. Для нахождения этого момента времени найдем выражение для проекции скорости vx

vx = dx = 2 − t . dt

В момент изменения направления движения проекция скорости vx = 0 . Отсюда следует, что точка меняет направление движения в момент времени t = 2 с .

Теперь определим координаты точки в моменты времени t , t1 и t2 :

x(t ) = 2 ×1- 0,5 ×12 = 1,5 м, x(t) = 2 × 2 - 0,5 × 22 = 2 м, x(t

2

) = 2 ×3 - 0,5 ×32

= 1,5 м .

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Видим, что от момента времени t1 до момента разворота t

точка проходит путь

 

S1 =| x(t) − x(t1 ) |= 0,5 м,

 

 

 

 

 

от момента разворота t до момента времени t2 путь, равный

 

 

S2 =| x(t2 ) − x(t) |= 0,5 м .

 

 

 

 

 

Тогда средняя путевая скорость равна

 

 

 

 

 

 

v =

S =

S1 + S2

= 0,5 м/с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dt

 

t

2

- t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Задача

2.

 

Движение материальной

точки

задано

уравнением

R

 

R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

= (A + Bt2 )i

+ Ctj , где A = 10 м, B = -5 м/с2 ,

C = 10 м/с. Найдите выражения

r(t)

для векторов мгновенной скорости от времени v(t) и полного ускорения a(t) .

Для момента времени t = 1 с вычислить: 1) модуль скорости v; 2) модуль ускоре-

ния a ; 3) модуль тангенциального ускорения aτ ; 3) модуль нормального ускоре-

ния an ; 4) радиус кривизны траектории R .

Решение. Определим, как зависит вектора мгновенной скорости от времени

 

R

R

R

R

R

R

dr

v(t) =

 

= 2Bti

+ Cj

= -10ti

+10j

dt

 

 

 

 

 

и вектор полного ускорения от времени

 

R

R

R

R

dv

a(t) =

 

= 2Bi

= -10i .

dt

 

 

 

Видим, что вектор полного ускорения не зависит от времени и направлен против оси X.

Модуль мгновенной скорости найдем по формуле

v = vx2 + vy2 ,

где vx = 2Bt и vy = C. Тогда зависимость модуля мгновенной скорости от време-

ни будет иметь вид v = 4 B 2 t 2 + C 2 .

Подставим числовые значения и найдем модуль скорости

v = 4 ×(-5)2 ×12 +102 » 14 м/с.

Модуль полного ускорения равен

a = ax2 + ay2 = 4B2 + 02 = 4 ×(-5)2 = 10 м/с2 .

Величина тангенциального ускорения определяется выражением

aτ =

dv

=

d( 4B2t2

+ C2 )

=

 

4B2t

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

dt

dt

 

4B2t2

 

 

 

 

 

 

+ C2

Подставив числовые значения получаем

aτ =

 

 

4 ×(-5)2 ×1

 

» 7 м/с2 .

 

 

 

 

 

×(-5)2 ×12 +102

4

 

 

Величину нормального ускорения найдем из выражения a = an2 + aτ2

an = a2 - aτ2 = 102 - 72 » 7 м/с2 .

Радиус кривизны траектории определим из формулы an = v2 R

R = v2 = 142 = 28 м .

an 7

Задача 3. После выключения двигателя моторной лодки скорость лодки из-

меняется по закону v = v0 (1 + γt) , где v0 , γ – постоянные. Найдите закон измене-

ния со временем ускорения лодки. Какое расстояние пройдет лодка за время

t = nγ?

Решение. Ускорение моторной лодки при выключенном двигателе найдем

следующим образом

a =

dv

=

d

v

0

 

=

− γv

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ γt)

 

 

dt dt 1

+ γt

 

 

 

Из равенства видно, что ускорение лодки направлено в противоположную сторо-

ну по отношению к направлению скорости, т.е. движение будет замедленным.

Расстояние, пройденное лодкой, найдем, если проинтегрируем скорость по времени

 

 

n γ

n γ

v0dt

 

v0

 

 

 

 

S = v(t)dt =

=

ln(n +1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1+ γt γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R

R

 

 

 

 

 

 

 

= i

+ 3j + 5k (м/с), конечное

 

Задача 4. Начальное значение скорости равно v1

R

R

R

 

 

 

 

 

 

 

= 2i

+ 4j

+ 6k (м/с). Найдите величину изменения вектора скорости v .

v2

 

Решение. Вектор изменения скорости тела определяется выражением

 

R

R

R

 

 

 

 

 

 

 

v = v2

v1 ,

 

 

 

 

 

 

А величину этого вектора можно определить по формуле

v = (v2x v1x )2 + (v2y v1y )2 + (v2z v1z )2 .

Подставим в найденную формулу числовые значения

v = (2 1)2 +(4 3)2 +(6 5)2 =1,73м/с.

Задача 5. Тело брошено с начальной скоростью v0 = 20 м/с под углом

α = 30° к горизонту. Найдите нормальное an и тангенциальное aτ ускорения в начальный момент времени, а также радиус кривизны R траектории в этот же момент.

Решение. Полное ускорение, которое действует на тело равно ускорению свободного падения a = g. Тангенциальное ускорение aτ находим как проекцию полного ускорения на касательную к траектории в начальный момент времени.

Нормальную составляющую ускорения an находим как проекцию полного ускорения на нормаль к касательной в указанный момент времени.

Как видно из рисунка, тангенциальное ускорение направлено в сторону про-

тивоположную направлению скорости и его величина равна aτ = gsin a = 9,8 ×sin 30° = 4,9 м/с2.

Нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории в данной точке и его величина равна

an = gcos a = 9,8 ×cos 30° » 8,5 м/с2.

С другой стороны для нормального ускорения можно записать n = v2 , от- a 0

R

куда радиус кривизны траектории в начальный момент времени равен

 

v2

202

 

R =

0

=

 

47 м.

 

8,5

 

an

 

§ 4

Угловая скорость и угловое ускорение

Модуль вектора элементарного угла поворота dϕ

равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта,

головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис. 6).

Векторы, направления которых связываются с направлениями вращения,

называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке lekcii_meh