Физика / Физика / Механика. Лекции / lekcii_meh / glava1

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 8), при замедленном – противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

aτ = dv = d(ωR) = R dω = Rε . dt dt dt

Нормальная составляющая ускорения

an = v2 = ω2R2 = ω2R .

RR

Связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

s = Rϕ, v = Rω, aτ = Rε, an = ω2R.

Вслучае равнопеременного движения точки по окружности (ε = const)

ω= ω0 ± εt , ϕ = ω0t ± εt22 , где ω0 – начальная угловая скорость.

Задача 1. Материальная точка движется по окружности радиусом R = 0,1 м с постоянным по величине угловым ускорением ε = 0,5 с–2 . Определите: а) полное линейное ускорение a точки через 2 с после начала вращения; б) ее нормальное ускорение an через один оборот; в) угол между вектором полного ускорения и радиусом окружности в указанные моменты времени.

Решение. Полное ускорение точки определяется выражением a = aτ2 + an2 ,

где aτ = εR – тангенциальное ускорение, an = ω2R – нормальное ускорение точ-

ки. В формуле для нормального ускорения заменим угловую скорость выражени-

ем ω = εt , в результате получим an = ε2t2R . Тогда выражение для полного уско-

рения будет иметь вид

a = ε2R2 + ε4t4R2 = εR1+ ε2t4 .

Подставив числовые значения, получим

a = 0,5 ×0,1× 1+ 0,52 × 24 = 0,11 м/с2 .

Угол, на который поворачивается материальная точка при вращении по ок-

ружности с постоянной угловой скоростью можно определить по формуле

j = et2 = w2 . 2 2e

Отсюда выразим квадрат угловой скорости w2 = 2ej и подставим в формулу для нормального ускорения.

an = 2εϕR

При повороте точки на один оборот угол равен ϕ = 2π. Подставим числовые зна-

чения и вычислим нормальное ускорение

an = 2 ×0,5 × 2 ×3,14 ×0,1 = 0,63 м/с2 .

Как видно из рисунка, угол между вектором полного ускорения и радиусом

окружности через один оборот можно определить по формуле

Задача 2. Закон вращения диска радиусом R = 0,1 м вокруг неподвижной оси имеет вид j =10 + 5t2 - 2t4 . Найдите величину и направление ускорения точки,

находящейся на ободе диска, спустя t =1 с после начала движения.

Решение. Проекцию вектора угловой скорости диска на ось вращения Z оп-

ределим по формуле

wZ = dϕ = 10t - 8t3 dt

или для момента времени t =1 с получим

wZ = 10 ×1- 8 ×13 = 2 рад/с,

т.е. угловая скорость направлена вдоль оси Z и равна по величине ω = 2 рад/с.

Нормальное ускорение точки на ободе диска определим по формуле an = w2R или an = 22 ×0,1 = 0,4 м/с2 .

Проекция углового ускорения диска на ось Z определяется выражением

eZ = dωZ = 10 - 24t2 . dt

Подставим числовые значения

eZ =10 - 24 ×12 = -14 рад/с2 .

Угловое ускорение направлено против оси Z и равно по величине e = 14 рад/с2 .

Тангенциальное ускорение определим из выражения

aτ = εZR,

подставив числовые значения aτ = (-14) ×0,1 = -1,4 м/с2 .

Знак минус говорит о том, что тангенциальная составляющая ускорения точки aτ

направлена против вектора скорости v.

Тогда, как это видно из рисунка, полное ускорение равно

a = aτ2 + an2 или после подстановки числовых значений получим a = (-1,4)2 + 0,42 = 1,46 м/с2 .