Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
38
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
912.33 Кб
Скачать

Глава 4

Механика твердого тела

§ 14

Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инер-

ции.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек сис-

темы на квадраты из расстояний до рассматриваемой оси.

n

J= miri2

i=1

n

= Ji .

i=1

Суммирование производится по всем элементарным массам mi , на которые разбивается тело (рис. 21).

В случае непрерывного распределения масс эта

сумма сводится к интегралу

J = r2dm ,

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом слу-

чае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

1. Момент инерции сплошного цилиндра или диска

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внеш-

ним – r + dr (рис. 22). Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2dm (т.к. dr << r , то счи-

таем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r ), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhdr . Если ρ – плотный

материала, то dm = ρ2πrhdr и dJ = 2πhρr3dr . Тогда момент инерции сплошного

цилиндра равен

R

J = dJ = 2πhρr3dr = 1 πhR4ρ,

2

0

но т.к. πR2h – объем цилиндра, то масса m = πR2hρ, а момент инерции

J= 1 mR2

2

Если известен момент инерции тела относительно оси,

проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется

теоремой Штейнера (рис. 23).

2. Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции JC относительно параллельной оси, прохо-

дящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на

квадрат расстояния a между осями

J = J + ma2 .

(14.1)

C

 

Задача. Твердое тело состоит из стержня массой m и длиной l, на конце которого прикреплена точечная масса m . Определить момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через противоположный конец стержня перпен-

дикулярно к нему.

Решение. Момент инерции тела найдем как сумму моментов инерций стержня и точечной массы относительно указанной оси

J = Jст + Jт .

Для нахождения момента инерции стержня относительно оси проходящей через его конец воспользуемся теоремой Штейнера

Jст = JC + ma2 ,

где JC = 1 ml2 – момент инерции стержня относительно оси проходящей через

12

его центр масс, a = l2 – расстояние между осями. Подставим эти величины в вы-

ражение для теоремы Штейнера и получим

 

 

1

 

2

l

2

1

 

 

2

 

Jст

=

 

 

ml

 

+ m

 

 

=

 

 

ml

 

.

12

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент инерции точечной массы равен

Jт = ml2 .

С учетом этого выражение для момента инерции тела будет иметь вид

J =

1

ml2 + ml2 =

4

ml2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем значения моментов инерции (таблица 1) для некоторых тел (тела

считаются однородными, m

масса тела).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тело

 

 

 

Положение оси вращения

Момент инерции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полый тонкостенный ци-

 

Ось симмет-

J = mR

2

линдр (обруч) радиусом R

 

рии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сплошной цилиндр или

 

Ось симмет-

J =

1

mR2

диск радиусом R

 

 

 

рии

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ось перпендикулярна стерж-

 

1

 

 

 

Прямой тонкий стержень

 

ню и проходит

J =

 

ml2

 

 

 

длиной l

 

 

 

через его сере-

12

 

 

 

 

 

 

 

 

дину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ось перпендикулярна стерж-

 

 

1

 

 

 

Прямой тонкий стержень

 

ню и проходит

J =

ml2

 

длиной l

 

 

 

через его конец

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шар радиусом R

 

 

 

Ось проходит через

J = 2 mR2

 

 

 

центр шара

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 15

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (рис. 24),

вращающееся около неподвижной оси Z, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие

объемы с элементарными массами m1, m2 ,..., mn нахо-

дящиеся на расстоянии r1, r2 ,..., rn от оси вращения.

При вращении тела относительно неподвижной оси отдельные его элементы объема массами mi опишут окружности различных радиусов ri и имеют различ-

ные линейные скорости vi . Но так как мы рассматри-

ваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова.

ω =

v1

=

v2

= ... =

vn

.

(15.1)

 

 

 

 

r1 r2

 

rn

 

Кинематическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинема-

тических энергий его элементарных объемов

T =

m1v12

+

m2v22

+ ... +

mnvn2

,

 

 

 

вр

2

2

2

 

 

 

или

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tвр

=

mivi

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя выражение (14.1), получим

 

 

 

n

miω

2

 

 

ω

2

n

 

Jzω

2

 

Tвр =

 

 

ri2 =

 

miri2

=

 

,

2

 

 

2

 

 

 

i=1

 

 

 

i=1

2

 

 

где Jz

момент инерции тела относительно оси Z. Таким образом, кинетическая

энергия вращающегося тела

 

 

 

 

 

=

J

ω2

 

Tвр

z

 

.

(15.2)

2

 

 

 

 

Из сравнения формулы (14.2) с выражением T = mv2 2 следует, что мо-

мент инерции вращательного движения – мера инертности тела. Формула (15.2)

справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с

наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается

из энер-

гии поступательного движения и энергии вращения

 

 

T =

mvC2

+

JCω2

,

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

где m – масса катящегося тела; vC – скорость центра масс тела;

JC

момент

инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;

ω –

угловая

скорость тела.

 

 

 

 

 

Задача. Однородный тонкий тяжелый стержень длиной l = 1 м может вра-

щаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стер-

жень отклонили на угол α = 60° и отпустили. Найдите линейную скорость сво-

бодного конца стержня в момент прохождения положения равновесия.

Решение. При движении стержня выполняется закон сохранения энергии. Потенциальная энергия стержня в начальном положении переходит в кинетическую энергию при прохождении им положения равновесия, т.е.

mgh = T ,

где m – масса стержня, h – высота, на которую опускается центр масс стержня.

Из рисунка видно, что ее можно рассчитать по формуле

h= l (1− cos α) . 2

Кинетическая энергия стержня при прохождении им положения равновесия может быть найдена по формуле

T = Jω2 , 2

где ω = vl – угловая скорость стержня, J – момент инерции стержня относи-

тельно оси, проходящей через точку подвеса. Он определяется по формуле

J= 1 ml2 . 3

Подставляем все величины в выражение закона сохранения энергии и получаем

mg l (1- cos a) = ml2v2 .

2

2 ×3l2

Из этого равенства выразим линейную скорость конца стержня

v = 3gl(1- cos a) .

Подставив числовые значения, получим

v = 3×9,8 ×1×(1- cos 60°) = 3,8 м/с.

§ 16

Момент силы. Уравнение динамики

вращательного движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвижной

точки О называется физическая величина, опреде-

ляемая векторным произведением радиус-вектора

r , проведенного из точки О в точку А приложения

силы, на силу F

= R ´

M [r F] .

Модуль момента силы

 

M = Frsin α = Fl ,

(16.1)

где a угол между векторами r

и F (рис. 25);

r sin α = l кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О

плечо силы.

Моментом силы относительно

неподвижной оси Z называется скалярная величина MZ , равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси

Z (рис. 26).

Если ось Z совпадает с направлением вектора

M , то момент силы представляется в виде вектора совпадающего с осью

= R ×

MZ [r F]Z .

Найдем выражение для работы при вращении тела. Рассмотрим абсолютно твердое

тело, когда работа силы F равна работе, за-

траченной на поворот всего тела (рис. 27). При повороте тела на бесконечно малый угол dϕ

точка В приложения силы F проходит путь

ds = rdϕ, и работа равна произведению силы Fs

на направление смещения на ве-

личину смещения

 

dA = Fsin αrdϕ.

(16.2)

Учитывая (16.1), можно записать

 

dA = MZdϕ,

 

где Fr sin α = Fl = MZ – момент силы относительно оси Z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии

dA = dT,

но

J ω2

 

= JZωdω,

 

Z

 

 

dT = d

2

 

 

 

 

поэтому

MZdϕ = JZωdω ,

или

M

 

dϕ

= J ω

dω

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z dt

 

Z

dt

 

 

 

 

 

Учитывая, что ω =

dϕ

, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

M

 

= J

 

dω

= J

 

ε .

(16.3)

Z

Z

 

Z

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (16.3) представляет собой уравнение динамики вращатель-

ного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции,

проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

R

(16.4)

M = Jε ,

где J – главный момент инерции тела.

Задача. Маховик массой m = 4 кг вращается, делая n = 720 об/мин . Массу маховика можно считать распределенной по ободу радиусом R = 40 см . Через t = 30 с под действием постоянного тормозящего момента силы маховик остано-

вился. Найдите тормозящий момент силы.

Решение. Запишем уравнение динамики вращательного движения твердого тела

MZ = JZε ,

где MZ – проекция момента силы на ось вращения Z, JZ – момент инерции махо-

вика относительно этой оси, ε – угловое ускорение. Запишем выражения для мо-

мента инерции

JZ = mR2

и углового ускорения

e = ω−ω0 , t

где ω0 = 2πn – начальная угловая скорость маховика, w = 0 – конечная скорость.

Подставляя полученные выражения в формулу для проекции момента силы, по-

лучаем

 

2pnmR2

2 ×3,14 ×12 × 4 ×0,42

 

MZ = -

 

= -

 

» -1,6 Н×м.

 

30

 

t

 

Как видно из рисунка и решения, вектор момента силы M направлен про-

тив оси Z, а его модуль равен

M =1,6 Н×м.

§ 17

Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса (количества движения)

материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяе-

мая векторным произведением

 

 

R

R

R

R

 

L = [r

´ p] = [r

´ mv] ,

где

r

радиус-вектор, проведенный из точки О в

точку А;

p = mv

импульс материальной точки (рис.

28);

L

псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступатель-

ного движения правого винта при вращении от r к p .

Модуль вектор момента импульса равен:

L = rpsin α = mvrsin α = pl ,

где l – плечо вектора p относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси Z называется ска-

лярная величина LZ , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, оп-

ределенного относительно произвольной точки О данной оси.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси Z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri , с некото-

рой скоростью vi . Скорость vi и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу,

т.е. радиус является плечом вектора mivi . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы

LiZ = miviri

(17.1)

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Моментом импульса твердого тела относительно оси есть сумма момен-

тов импульса отдельных частиц

 

 

n

 

 

 

 

 

 

LZ = miviri .

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

Используя формулу (15.1) vi = ωri , получим

 

 

n

 

 

 

 

n

 

LZ = miωiri2

= ωmiri2

= JZω,

 

 

i=1

 

 

 

 

i=1

 

т.е.

 

 

 

 

 

 

LZ = JZω.

 

 

(17.2)

Продифференцируем уравнение (17.2) по времени

 

dLZ

= J

 

dω

= J ε = M ,

 

 

 

 

 

 

dt

Z dt

Z

Z

 

т.е.

dLZ = MZ dt

Это выражение – еще одна форма уравнения (закона) динамики вращатель-

ного движения твердого тела.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

R

(17.3)

dL = M .

dt

Соседние файлы в папке lekcii_meh