Физика / Физика / Механика. Лекции / lekcii_meh / glava7

Глава 7 Элементы специальной теории относительности

§ 31

Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедливы законы динамики Ньютона, то эти системы являются инерциальными.

Механический принцип относительности (принцип относительности Гали-

лея) заключается в том, что во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами x, y, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему K’ (с координатами x’, y’, z’), движущуюся относительно K со скоростью u ( ur = const ) равномерно и прямолинейно. Отсчет времени начнем с момента, когда начало координат обеих систем совпадают. Скорость u направлена

Уравнения (31.1) и (31.2) носят название преобразование координат Галилея.

В частном случае, когда система К’ движется со скоростью vr вдоль положительного направления оси х системы К, преобразование координат Галилея имеет вид

x = x′+vt

= ′ .

y y

z = z′

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т.е. к преобразованиям (31.2) можно добавить еще одно уравнение

Продифференцируем выражение (31.1) по времени и получим уравнение

которое представляет собой правило сложения скоростей в классической механике.

Ускорение в системе отсчета К

Таким образом, из соотношения (31.5) вытекает доказательство механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе из одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т.е. являются инвариант- ными по отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется прямолинейно и равномерно.

§ 32

Постулаты специальной теории относительности

Специальная теория относительности часто называется также релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, – релятиви-

стскими эффектами.

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сформулированные им в 1905 г.

I. Принцип относительности: никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

II. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зави-

сит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат Эйнштейна, являясь обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы.

Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света – функциональное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

§ 33

Преобразования Лоренца

Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой

заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна.

Эти преобразования предложены Лоренцем в 1904 г., еще до появления теории относительности, как преобразования, относительно которых уравнения Максвелла инвариантны.

ния Лоренца переходят в классические преобразования Галилея, которые являются, следовательно, предельным случаем преобразований Лоренца.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считаются абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе.

Кроме того, в преобразованиях Лоренца пространственные координаты и время неразрывно связаны между собой, поэтому Эйнштейн вводит понятие че-

тырехмерного пространство-времени.

§ 34

Следствия из преобразований Лоренца 1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в систе-

ме К в точках с координатами x1 и x2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К’ им соответствуют координаты x1′ и x′2 и момент времени

t1′ и t′2 . Если события в системе К происходят в одной точке ( x1 = x2 ) и являются одновременными ( t1 =t2 ), то согласно преобразованиям Лоренца, x1′ = x′2 и t1′ = t′2 , т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадаю-

щими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены ( x1 ≠ x2 ), но одно-

временны ( t1 = t2 ), то в системе K’

Таким образом, в системе K’ эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными.

2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторых точке х, покоящейся относительно системе К, происходит событие, длительность которого τ = t2 −t1 . Длительность этого же события в системе K’

Из соотношения (34.3) вытекает, что τ< τ′, т.е. длительность события, происходящее в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов.

3. Длина тел для разных систем отсчета. Рассмотрим стержень, располо-

женный вдоль оси x′ и покоящийся относительно K, длина стержня в системе K’ будет l0′ = x′2 −x′2 , где x1′ и x′2 – не изменяющиеся со временем t′ координаты на-

чала и конца стержня, а индекс «0» показывает, что в системе отсчета K’ стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необходимо измерить координаты его кон-

Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наименьшие в той инерциальной системе, относительно которой они покоятся.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение ма-

териальной точки в системе K′, в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y,z, а в системе K’ в момент времени t′ – координатами x′, y′,z′, то

ux = dxdt , uy = dydt , uz = dzdt

и

u′x = ddxt′′, u′y = ddyt′′, u′z = ddzt′′

представляют собой соответственно проекции на оси x, y,z, и x′, y′,z′ вектора

скорости рассматриваемой относительно систем К и К’. Согласно преобразованиям Лоренца (33.1)

dx = dx′+vdt′, dy = dy′, dz = dz′, dt = dt′+βdx′c . 1 −β2

Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности.

Если материальная точка движения параллельно оси х, то скорость u относительно системы К совпадает с ux , а скорость u′ относительно K′ – с u′x . Те-

перь закон сложения скоростей примет вид

§ 35

Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов ка- кой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т.е. являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (x, y,z, t), такой физической величиной является интер-

вал между двумя событиями

где (x2 −x1 )2 −(y2 −y1 )2 −(z2 −z1 )2 =l12 – расстояние между точками обычного трехмерного пространства, в котором эти события произошли. Введя обозначение t12 = t2 −t1 , получим

s12 = c2 t122 −l122 .

Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Обозначив t = t2 −t1 , x = x2 −x1 , y = y2 −y1 , z = z2 −z1 , выражение (35.1) можно записать в виде

Подставив эти значения в (35.2), после элементарных преобразований получим, что

Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длины и промежутка времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

§ 36

Основной закон релятивистской динамики материальной точки

На опытах с быстро движущимися электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличение скорости по закону

где m0 – масса покоя материальной точки.

Основной закон динамики Ньютона

Fr = ddtpr = dtd (mvr)

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет

вид

– релятивистский импульс материальной точки.

§ 37

Закон взаимосвязи массы и энергии

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы

Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv = vdv, и формулы (36.1) придем к выражению

т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе m0 , то, проинтегрировав (37.2), получим

Выражение (37.4) при скоростях c >> v переходит в классическое

T = m20v2 .

А. Эйнштейн предположил, что выражение (37.2) справедливо не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энергии, а имен-

Отсюда Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергии тела E и его массой m

Уравнение (37.6), равно как и (37.5), выражает фундаментальный закон природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме.

Закон (37.6) можно, учитывая выражение (37.3), записать в виде

E = m0c2 +T,

откуда следует, что покоящееся тело ( T = 0 ) также обладает энергией