книги бурение / Технология бурения нефтяных и газовых скважин / 3

àÁ Û ‡‚ÌÂÌËfl (3.16) ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ vÍ ·Û‰ÂÚ ÓÔ Â‰ÂÎflÚ¸Òfl Î˯¸ ‚Â΢ËÌÓÈ τs МВБ‡‚ЛТЛПУ УЪ ‚Л‰‡ ЛТЪЛММУИ Н Л‚УИ ЪВ- ˜ВМЛfl f(τ). й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ˝ЪУ ‚УБПУКМУ Ф Л М‡ОЛ˜ЛЛ ‰УФЫ˘В- МЛИ, Ф ЛМflЪ˚ı Ф Л ‚˚‚У‰В Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ (3.10). лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ВТОЛ Н‡К‰‡fl ˜‡ТЪЛˆ‡ КЛ‰НУТЪЛ ‰‚ЛКВЪТfl Т ФУТЪУflММУИ ТНУ У- ТЪ¸˛ Ф‡ ‡ООВО¸МУ УТЛ Ъ Ы·˚, Ъ.В. УЪТЫЪТЪ‚ЫВЪ ТНУО¸КВМЛВ М‡ ТЪВМНВ Л ТНУ УТЪ¸ Т‰‚Л„‡ ‚ ЪУ˜НВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ М‡Ф flКВМЛfl Т‰‚Л„‡: −du /dr = f(τ), ЪУ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ (3.16) ТОВ‰ЫВЪ ‡ТТП‡Ъ-Л‚‡Ъ¸ Н‡Н У·У·˘ВММЫ˛ НУМТЛТЪВМЪМЫ˛ Н Л‚Ы˛.

й·˘‡fl Т‚flБ¸ ПВК‰Ы НУМТЛТЪВМЪМУИ Л ЛТЪЛММУИ Н Л‚˚ПЛ ЪВ˜ВМЛfl Ф Л ‰‚ЛКВМЛЛ КЛ‰НУТЪЛ ФУ Н‡ФЛООfl Ы ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡ВЪТfl М‡ УТМУ‚В Ы ‡‚МВМЛfl (3.16), Ф Л‚В‰ВММУ„У Н ‚Л‰Ы

(du /dr)s ÓÚ τs УЪУ· ‡К‡ВЪ ЛТЪЛММЫ˛ Н Л‚Ы˛ ЪВ˜ВМЛfl. зВУ·ıУ‰ЛПУ УЪПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ F(τs) УФ В‰ВОflВЪ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸

Т В‰МВИ ТНУ УТЪЛ Т‰‚Л„‡ ‚ ФУЪУНВ УЪ Н‡Т‡ЪВО¸МУ„У М‡Ф flКВМЛfl М‡ ТЪВМНВ Н‡ФЛООfl ‡, ЪУ„‰‡ Н‡Н f(τs) – ЩЫМНˆЛfl „ ‡‰ЛВМЪ‡ ТНУ УТЪЛ М‡ ТЪВМНВ (du /dr)s УЪ Н‡Т‡ЪВО¸МУ„У М‡Ф flКВМЛfl М‡ ТЪВМНВ.

л‚flБ¸ ПВК‰Ы НУМТЛТЪВМЪМ˚ПЛ ФВ ВПВММ˚ПЛ Ф Л ЪВ˜ВМЛЛВУОУ„Л˜ВТНЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı КЛ‰НУТЪВИ ‚ Б‡БУ В ‚ЛТНУБЛПВЪ-‡ Т НУ‡НТЛ‡О¸М˚ПЛ ˆЛОЛМ‰ ‡ПЛ ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡ВЪТfl ТОВ‰Ы˛˘ЛП У· ‡БУП.

иЫТЪ¸ М‡ ЫКМ˚И ˆЛОЛМ‰ ‡‰ЛЫТУП R2 ‚ ‡˘‡ВЪТfl Т ФУТЪУflММУИ Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪ¸˛ ω, ‡ ‚МЫЪ ВММЛИ ˆЛОЛМ‰ Т М‡ ЫК-

136

кЛТ. 3.5. и ЛМˆЛФЛ‡О¸М‡fl ТıВП‡ ‚ЛТНУБЛПВЪ ‡ Т НУ‡НТЛ‡О¸М˚ПЛ ˆЛОЛМ‰ ‡ПЛ:

‡– ТıВП‡ ‡ТФ В‰ВОВМЛfl ТНУ УТЪЛ u Л „ ‡‰ЛВМЪУ‚ ТНУ УТЪЛ γ ‚ ˆЛОЛМ‰ Л˜ВТНУП

Á‡ÁÓ Â Ô Ë ÛÒÎÓ‚ËË R1 < r0 < R2; · – ÚÓ ÊÂ, Ô Ë ÛÒÎÓ‚ËË r0 = R2; 1 – ÛÔ Û„ËÈ

˝ОВПВМЪ; 2 – ÔÓ‰‚ÂÒ; 3 – ‚МЫЪ ВММЛИ ˆЛОЛМ‰ ; 4 – ÊˉÍÓÒÚ¸; 5 – ‚̯ÌËÈ ˆËÎË̉ ; 6 – ТФВˆЛ‡О¸М‡fl ФУОУТЪ¸; 7 – Ф ЛТФУТУ·ОВМЛВ ‰Оfl ‚ ‡˘ВМЛfl ‚МВ¯МВ„У ˆЛОЛМ‰ ‡

ÂÚÒfl Ô ‚‡fl Ô ÓËÁ‚Ӊ̇fl ÙÛÌ͈Ëfl ÒÍÓ ÓÒÚË u ÔÓ ÍÓÓ ‰Ë̇Ú r, ‚Бfl- Ъ‡fl ФУ МУ П‡ОЛ ‚ М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ ТНУ УТЪЛ,

иВ ‚˚И НУПФУМВМЪ ˝ЪУИ ЩУ - ПЫО˚ ı‡ ‡НЪВ ЛБЫВЪ ‚ ‡˘ВМЛВ ‚ТВИ КЛ‰НУТЪЛ Н‡Н ˆВОУ„У Л ‚ ‚УБМЛНМУ‚ВМЛЛ Н‡Т‡ЪВО¸М˚ı М‡- Ф flКВМЛИ МВ Ы˜‡ТЪ‚ЫВЪ, ‚ЪУ УИ – МУТЛЪ М‡Б‚‡МЛВ Т‰‚Л„‡

б‰ВТ¸ МВУ·ıУ‰ЛПУ УЪПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ УЪУК‰ВТЪ‚ОВМЛВ „ ‡‰ЛВМЪ‡ ТНУ УТЪЛ Л ТНУ УТЪЛ Т‰‚Л„‡ ТФ ‡‚В‰ОЛ‚У ЪУО¸НУ ‰Оfl Ф flПУОЛМВИМ˚ı ФУЪУНУ‚, М‡Ф ЛПВ , Ф Л ‰‚ЛКВМЛЛ КЛ‰НУТЪЛ ‚ Ъ Ы·НВ Н‡- ФЛООfl МУ„У ‚ЛТНУБЛПВЪ ‡.

й„ ‡МЛ˜ЛПТfl ‡ТТПУЪ ВМЛВПВУОУ„Л˜ВТНЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı КЛ‰- НУТЪВИ, Ъ.В. КЛ‰НУТЪВИ, ВУОУ„Л-

˜ВТНЛВ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ НУЪУ ˚ı МВ Б‡‚ЛТflЪ УЪ ‚ ВПВМЛ. З

˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â

лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ЛПВfl ‚ ‚Л‰Ы (3.21) Л (3.22), ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸

d ω

r = f(τ). (3.23) dr r

137

ЦТОЛ ТНУО¸КВМЛВ КЛ‰НУТЪЛ М‡ ТЪВМН‡ı У·УЛı ˆЛОЛМ‰ У‚ УЪТЫЪТЪ‚ЫВЪ, ЪУ

u = 0 Ô Ë r = R1;

u = R2ω Ô Ë r = R2.

и Л‚В‰ВММ˚В „ ‡МЛ˜М˚В ЫТОУ‚Лfl ФУБ‚УОfl˛Ъ М‡ИЪЛ ‡ТФ В- ‰ВОВМЛВ ТНУ УТЪВИ u(r) ФУ ТВ˜ВМЛ˛ ФЫЪВП ЛМЪВ„ Л У‚‡МЛfl Ы ‡‚МВМЛfl (3.23)

З ТОЫ˜‡В ВТОЛ ЪВ˜ВМЛВ Уı‚‡Ъ˚‚‡ВЪ ‚ВТ¸ Б‡БУ , У· ‡БЫВП˚И ˆЛОЛМ‰ ‡ПЛ ‚ЛТНУБЛПВЪ ‡ (r = R2), ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ (3.24) Ф Л- МЛП‡ВЪ ‚Л‰

„‰Â τ1, τ2 – М‡Ф flКВМЛfl Т‰‚Л„‡ М‡ ТЪВМН‡ı ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ‚МЫЪ ВММВ„У Л М‡ ЫКМУ„У ˆЛОЛМ‰ У‚.

аТıУ‰fl ЛБ (3.19), ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸

аБ ТУУЪМУ¯ВМЛИ (3.28) Л (3.29) ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ М‡Ф flКВМЛВ Т‰‚Л„‡ М‡ ТЪВМНВ ‚МЫЪ ВММВ„У ˆЛОЛМ‰ ‡ ·УО¸¯В, ˜ВП М‡ ТЪВМНВ ‚МВ¯МВ„У.

138

лУ‚ПВТЪМУВ В¯ВМЛВ (3.28) Л (3.29) ‰‡ВЪ

2

τ2 = dτ1 = R1 τ1. (3.30)

R2

м ‡‚МВМЛВ (3.27) Т Ы˜ВЪУП (3.30) Ф ЛПВЪ ‚Л‰

τ1

ω = 1 ∫ f(τ) dτ. (3.31)

2 aτ1 τ

кВ¯ВМЛВ Ы ‡‚МВМЛИ (3.24) Л (3.31) Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ‚Л‰‡ ЩЫМНˆЛЛ f(τ). СОfl МВМ¸˛ЪУМУ‚ТНЛı КЛ‰НУТЪВИ

л Ы˜ВЪУП (3.19) Л (3.32) В¯ВМЛВ (3.24) Л (3.31) Ф Л‚У‰ЛЪ Н Б‡‚ЛТЛПУТЪflП

оУ ПЫО‡ (3.33), ‚ФВ ‚˚В ФУОЫ˜ВММ‡fl лЪУНТУП, Ф ЛПВМflВЪТfl ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ‡·ТУО˛ЪМУИ ‚flБНУТЪЛ М¸˛ЪУМУ‚ТНЛı КЛ‰НУТЪВИ Ф Л ФУПУ˘Л ‚ЛТНУБЛПВЪ У‚ Т НУ‡НТЛ‡О¸М˚ПЛ ˆЛОЛМ‰-‡ПЛ.

ᇂЛТЛПУТЪ¸ (3.33) ФУ ‡М‡ОУ„ЛЛ Т (3.32) ПУКМУ Ф Л‚ВТЪЛ Н ‚Л‰Ы

ÁÓ Â.

139

л Ы˜ВЪУП НУМТЛТЪВМЪМ˚ı ФВ ВПВММ˚ı τ1 Ë vp Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ (3.33) Ф ЛПВЪ ТОВ‰Ы˛˘ЛИ УНУМ˜‡ЪВО¸М˚И ‚Л‰

м ‡‚МВМЛfl (3.16) Л (3.36), УЪУ· ‡К‡˛˘ЛВ ЪВ˜ВМЛВ КЛ‰НУТЪВИ Л НУМТЛТЪВМЪМ˚ı ФВ ВПВММ˚ı, ТОЫК‡Ъ ‰Оfl ФУОЫ˜ВМЛfl УТМУ‚М˚ı ‡Т˜ВЪМ˚ı ТУУЪМУ¯ВМЛИ ФУ УФ В‰ВОВМЛ˛ ВУОУ„Л˜В- ТНЛı ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН М‡ Н‡ФЛООfl М˚ı ‚ЛТНУБЛПВЪ ‡ı Л Ф Л- ·У ‡ı Т НУ‡НТЛ‡О¸М˚ПЛ ˆЛОЛМ‰ ‡ПЛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ.

нУ˜МЫ˛ ‡Т˜ВЪМЫ˛ ЩУ ПЫОЫ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl ВУОУ„Л˜ВТНЛı ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН ‚flБНУФО‡ТЪЛ˜М˚ı КЛ‰НУТЪВИ М‡ Н‡ФЛООfl - М˚ı ‚ЛТНУБЛПВЪ ‡ı ПУКМУ ФУОЫ˜ЛЪ¸ ‚ ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ЛМЪВ„ Л У- ‚‡МЛfl Ы ‡‚МВМЛfl (3.16) Ф Л ЫТОУ‚ЛЛ, ˜ЪУ КЛ‰НУТЪ¸ ‚ Ф ЛУТВ- ‚УИ У·О‡ТЪЛ МВ ФУ‰‚В КВМ‡ Т‰‚Л„Ы, Ъ.В.

кВ¯ВМЛВ (3.38) Ф Л‚У‰ЛЪ Н ЩУ ПЫОВ, ЛБ‚ВТЪМУИ ФУ‰ М‡Б‚‡- МЛВП ФУОМУ„У Ы ‡‚МВМЛfl ЕЫНЛМ„ВП‡, Б‡ФЛТ‡ММУ„У ‚ НУМТЛТЪВМЪМ˚ı ФВ ВПВММ˚ı,

йФ В‰ВОЛЪ¸ ЛТНУП˚В ВУОУ„Л˜ВТНЛВ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ (τ0, η)

ЛБ Ы ‡‚МВМЛfl (3.39) Ф ‡НЪЛ˜ВТНЛ МВ‚УБПУКМУ, ıУЪfl ‚ Ф ЛМˆЛФВ ˝Ъ‡ УФВ ‡ˆЛfl УТЫ˘ВТЪ‚ЛП‡ Т ФУПУ˘¸˛ НУПФ¸˛ЪВ ‡ ПВЪУ- ‰УП М‡ЛПВМ¸¯Лı Н‚‡‰ ‡ЪУ‚. З ˝ЪУИ Т‚flБЛ Ы ‡‚МВМЛВ (3.39) ‚ Ф ‡НЪЛ˜ВТНУИ ВУПВЪ ЛЛ МВ ЛТФУО¸БЫВЪТfl.

ЦТОЛ Ф В‰ФУОУКЛЪ¸, ˜ЪУ КЛ‰НУТЪ¸ ‚У ‚ТВИ У·О‡ТЪЛ УЪ УТЛ ‰У ТЪВМНЛ Н‡ФЛООfl ‡ ФУ‰‚В КВМ‡ Т‰‚Л„Ы, Ъ.В.

f(τ) = (τs − τ0) / η, 0 < τ < τs ,

140

ЪУ, ЛТФУО¸БЫfl Ы ‡‚МВМЛВ (3.16), ФУТОВ ЛМЪВ„ Л У‚‡МЛfl ФУОЫ- ˜‡ВП

ᇂЛТЛПУТЪ¸ (3.40) УЪУ· ‡К‡ВЪ ‡ТЛПФЪУЪЫ Ы ‡‚МВМЛfl (3.39)

ËМУТЛЪ М‡Б‚‡МЛВ МВФУОМУ„У Ы ‡‚МВМЛfl ЕЫНЛМ„ВП‡. аТФУО¸БУ‚‡МЛВ (3.40) ‚Б‡ПВМ (3.39) Ф Л‚У‰ЛЪ Н ФУ„ В¯МУТЪЛ

ПВМВВ 6 % Ф Л τ0/τs ≤ 0,5 (ÔÓ ê.à. òˢÂÌÍÓ).

йТМУ‚МУВ ‡Т˜ВЪМУВ ТУУЪМУ¯ВМЛВ М‡ УТМУ‚‡МЛЛ ЩУ ПЫО˚ (3.40) ЛПВВЪ ‚Л‰

τs = 43 τ0 + ηvÍ.

иО‡ТЪЛ˜ВТН‡fl ‚flБНУТЪ¸ М‡ıУ‰ЛЪТfl ФУ О˛·˚П ‰‚ЫП ЪУ˜Н‡П ФУОЫ˜ВММУИ Ф flПУИ, ‰‡˛˘ЛП ‰‚В Ф‡ ˚ БМ‡˜ВМЛИ τs1 – v Í1 Ë τs2 – v Í2, ÔÓÁ‚ÓÎfl˛˘Ëı ËÒÍβ˜ËÚ¸ τ0,

η = τs2 − τs1 . v Í2 − v Í1

СЛМ‡ПЛ˜ВТНУВ М‡Ф flКВМЛВ Т‰‚Л„‡ УФ В‰ВОflВЪТfl БМ‡˜ВМЛВП УЪ ВБН‡, УЪТВН‡ВПУ„У НУМТЛТЪВМЪМУИ Ф flПУИ М‡ УТЛ τs:

τ0 = 34 τs0;

τs = τs0 Ô Ë vÍ = 0.

лОВ‰ЫВЪ УЪПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ ТУ„О‡ТМУ ФУОМУПЫ Ы ‡‚МВМЛ˛ ЕЫНЛМ- „ВП‡ (3.39), НУМТЛТЪВМЪМ‡fl Н Л‚‡fl ЪВ˜ВМЛfl ‰Оfl ‚flБНУФО‡ТЪЛ˜- М˚ı КЛ‰НУТЪВИ ‰УОКМ‡ ЛПВЪ¸ Б‡ПВЪМЫ˛ Н Л‚ЛБМЫ ‚ У·О‡ТЪЛ П‡О˚ı ТНУ УТЪВИ Т‰‚Л„‡.

иУОЫ˜ВМЛВ ОЛМВИМУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ Т‚Л‰ВЪВО¸ТЪ‚ЫВЪ, ˜ЪУ ‚ Ф В‰ВО‡ı М‡·О˛‰‡ВП˚ı БМ‡˜ВМЛИ ТНУ УТЪЛ Т‰‚Л„‡ ФО‡ТЪЛ˜МУВ fl‰ У ЪВ˜ВМЛfl ‚ ФУЪУНВ КЛ‰НУТЪЛ УЪТЫЪТЪ‚ЫВЪ, У‰М‡НУ ˝ЪУ МВ УБМ‡˜‡ВЪ МВ‚УБПУКМУТЪ¸ В„У ЩУ ПЛ У‚‡МЛfl Ф Л П‡О˚ı БМ‡-

˜ÂÌËflı vÍ , МВ В‡ОЛБУ‚‡ММ˚ı ‚ УФ˚ЪВ. З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В МВУ·ıУ- ‰ЛПУ ЛПВЪ¸ Ы‚В ВММУТЪ¸ ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ ‰Л‡Ф‡БУМ‡ ТНУ УТЪВИ Т‰‚Л„‡ ‚ Н‡ФЛООfl МУП ‚ЛТНУБЛПВЪ В В‡О¸М˚П ЫТОУ‚ЛflП ‰‚Л- КВМЛfl КЛ‰НУТЪЛ ‚ ˝ОВПВМЪ‡ı ˆЛ НЫОflˆЛУММУИ ТЛТЪВП˚, Ъ В- ·Ы˛˘Лı „Л‰ ‡‚ОЛ˜ВТНУ„У ‡Т˜ВЪ‡.

йФ В‰ВОВМЛВ ВУОУ„Л˜ВТНЛı ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН ‚ БМ‡˜ЛЪВО¸МУИ ПВ В УТОУКМflВЪТfl, ВТОЛ ‚ У·О‡ТЪЛ П‡О˚ı ТНУ УТЪВИ Т‰‚Л„‡

141

УФ˚ЪМ˚В ЪУ˜НЛ УЪНОУМfl˛ЪТfl УЪ Ф flПУИ. З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В ‡Ф- Ф УНТЛП‡ˆЛfl ‰‡ММ˚ı ОЛМВИМУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸˛ ПВЪУ‰УП М‡Л- ПВМ¸¯Лı Н‚‡‰ ‡ЪУ‚ МВ‰УФЫТЪЛП‡. зВУ·ıУ‰ЛПУ ˝НТЪ ‡ФУОЛ У- ‚‡Ъ¸ ОЛМВИМ˚И Ы˜‡ТЪУН НУМТЛТЪВМЪМУИ Н Л‚УИ ‰У ФВ ВТВ˜ВМЛfl Т УТ¸˛ τs , ЛПЛЪЛ Ыfl ‡ТЛПФЪУЪЫ В‡О¸МУИ Н Л‚УИ ЪВ˜ВМЛfl. иУ„ В¯МУТЪ¸ ФУ‰У·МУИ ‡ФФ УНТЛП‡ˆЛЛ ЫПВМ¸¯‡ВЪТfl Т УТЪУП Ф flПУОЛМВИМУ„У Ы˜‡ТЪН‡ НУМТЛТЪВМЪМУИ Н Л‚УИ, ‚ Ф У- ЪЛ‚МУП ТОЫ˜‡В ‚˚˜ЛТОВММ˚В ВУОУ„Л˜ВТНЛВ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ ПУ„ЫЪ ТЫ˘ВТЪ‚ВММУ УЪОЛ˜‡Ъ¸Тfl УЪ В‡О¸М˚ı.

кВУОУ„Л˜ВТНУВ Ы ‡‚МВМЛВ ЛТЪЛММУИ Н Л‚УИ ЪВ˜ВМЛfl ФТВ‚- ‰УФО‡ТЪЛ˜М˚ı Л ‰ЛО‡Ъ‡МЪМ˚ı (ТЪВФВММ˚ı) КЛ‰НУТЪВИ ЛПВВЪ ‚Л‰

аМЪВ„ Л У‚‡МЛВ (3.42) Ф Л‚У‰ЛЪ Н Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ, ФУБ‚УОfl˛- ˘ВИ УФ В‰ВОЛЪ¸ ВУОУ„Л˜ВТНЛВ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ ТЪВФВММ˚ı КЛ‰НУТЪВИ Ф Л ЪВ˜ВМЛЛ ‚ Н‡ФЛООfl М˚ı ‚ЛТНУБЛПВЪ ‡ı,

оУ ПЫОЫ (3.43) ПУКМУ Ф ЛПВМflЪ¸ Ф Л ФУТЪУflМТЪ‚В ‚У ‚ТВП ‰Л‡Ф‡БУМВ Н‡Т‡ЪВО¸М˚ı М‡Ф flКВМЛИ Т‰‚Л„‡ УЪ τs М‡ ТЪВМНВ ‰У МЫОfl М‡ УТЛ Н‡ФЛООfl ‡, Ъ.В. ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т ЫТОУ‚ЛflПЛ ЛМЪВ- „ Л У‚‡МЛfl Ы ‡‚МВМЛfl (3.42). йФ˚ЪМ˚В ЪУ˜НЛ ‚ ˝ЪУП ТОЫ˜‡В Ы‰У‚ОВЪ‚У ЛЪВО¸МУ ‡ФФ УНТЛПЛ Ы˛ЪТfl Ф flПУИ М‡ „ ‡ЩЛНВ Т НУУ ‰ЛМ‡Ъ‡ПЛ ln τs – ln vÍ . í‡Í, ÎÓ„‡ ËÙÏË Ó‚‡ÌË (3.43) ‰‡ÂÚ

ln τs = ln k′ + n ln vÍ ;

аТФУО¸БЫfl О˛·˚В ‰‚В ЪУ˜НЛ ‡ФФ УНТЛПЛ Ы˛˘ВИ Ф flПУИ, ПУКМУ ‚˚˜ЛТОЛЪ¸ n ÔÓ ÙÓ ÏÛÎÂ

142

и ‡НЪЛ˜ВТНЛ „ ‡ЩЛН ОУ„‡ ЛЩПЛ˜ВТНУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ τs ÓÚ vÍ ‡ФФ УНТЛПЛ ЫВЪТfl МВТНУО¸НЛПЛ Ф flП˚ПЛ ‚ ‡БМ˚ı ‰Л‡Ф‡-

ÁÓ̇ı τs .

З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В УФ В‰ВОВМЛВ ФУН‡Б‡ЪВОВИ n Ë k ·‡БЛ ЫВЪТfl М‡ ЪВУ ВЪЛ˜ВТНЛı ‡Б ‡·УЪН‡ı Н‡ФЛООfl МУИ ‚ЛТНУБЛПВЪ ЛЛ, ЛБОУКВММ˚ı м.а. мЛОНЛМТУМУП, ТП˚ТО НУЪУ ˚ı Б‡НО˛˜‡ВЪТfl ‚ ТОВ‰Ы˛˘ВП.

СЛЩЩВ ВМˆЛ Ыfl Ы ‡‚МВМЛВ (3.17) ФУ ˜‡ТЪflП, ФУОЫ˜‡ВП

м ‡‚МВМЛВ (3.46) Ы‰У·МУ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl „ ‡‰ЛВМЪ‡ ТНУ У- ТЪЛ М‡ ТЪВМНВ Ъ Ы·˚ МВБ‡‚ЛТЛПУ УЪ ‚Л‰‡ ЛТЪЛММУИ Н Л‚УИ ЪВ˜ВМЛfl. йМУ М‡„Оfl‰МУ ФУН‡Б˚‚‡ВЪ, ˜ЪУ „ ‡‰ЛВМЪ ТНУ УТЪЛ М‡ ТЪВМНВ Ъ Ы·˚ ТУ‚Ф‡‰‡ВЪ ФУ БМ‡˜ВМЛ˛ ТУ Т В‰МВИ ТНУ УТЪ¸˛ Т‰‚Л„‡ ОЛ¯¸ Ы М¸˛ЪУМУ‚ТНЛı КЛ‰НУТЪВИ.

и ВУ· ‡БЫfl Ы ‡‚МВМЛВ (3.46), Ф ЛıУ‰ЛП Н Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ к‡- ·ЛМУ‚Л˜‡ Л еЫМЛ

ÖÒÎË Ó·ÓÁ̇˜ËÚ¸ Ô ÓËÁ‚У‰МЫ˛ ‚ О˛·УИ ЪУ˜НВ ОУ„‡ ЛЩПЛ- ˜ВТНУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ τs ÓÚ vÍ ˜Â ÂÁ

ЪУ ФУ‰ТЪ‡МУ‚Н‡ ˝ЪУ„У БМ‡˜ВМЛfl ‚ Ы ‡‚МВМЛВ (3.47) Ф Л‚У‰ЛЪ Н

‚˚ ‡КВМЛ˛, Ф В‰ОУКВММУПЫ еВЪˆМВ УП Л кЛ‰УП,

аПВfl ‚ ‚Л‰Ы (3.49), Ы ‡‚МВМЛВ Н‡Т‡ЪВО¸МУИ ‚ О˛·УИ ЪУ˜НВ ОУ„‡ ЛЩПЛ˜ВТНУИ НУМТЛТЪВМЪМУИ Н Л‚УИ ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ ‚ ‚Л‰В

143

„‰Â k1 – ФУН‡Б‡ЪВО¸ НУМТЛТЪВМˆЛЛ, ı‡ ‡НЪВ ЛБЫ˛˘ЛИ Т МВНУЪУ ˚П Ф Л·ОЛКВМЛВП ‚flБНУТЪ¸ („ЫТЪУЪЫ) П‡ЪВ Л‡О‡; n’ – ФУ- Н‡Б‡ЪВО¸ МВМ¸˛ЪУМУ‚ТНУ„У ФУ‚В‰ВМЛfl КЛ‰НУТЪЛ.

ЦТОЛ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ τs ÓÚ vÍ ‚ ОУ„‡ ЛЩПЛ˜ВТНЛı НУУ ‰ЛМ‡- Ъ‡ı МВОЛМВИМ‡, ЪУ k1 = ϕ( τs ) Ë n = ψ( τs ).

ᇂЛТЛПУТЪ¸ (3.50) ‚МВ¯МВ ТıУ‰М‡ Т Ы ‡‚МВМЛВП йТЪ‚‡О¸- ‰‡ – кВИМВ ‡, УФЛТ˚‚‡˛˘ЛП ЛТЪЛММЫ˛ ВУОУ„Л˜ВТНЫ˛ Н Л- ‚Ы˛ ‚ ТЪВФВММУП ‚Л‰В

du n

τ = k . (3.51)

dr

è‡ ‡ÏÂÚ ˚ k Ë n ·ОЛБНЛ ФУ ТП˚ТОЫ k’ Ë n’ ‚ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНВ П‡ЪВ Л‡О‡. й‰М‡НУ УМЛ ЩЛБЛ˜ВТНЛ Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУ ‡Б- ОЛ˜‡˛ЪТfl, ФУТНУО¸НЫ k Ë n fl‚Оfl˛ЪТfl ЛТЪЛММ˚ПЛ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛН‡ПЛ ЪВНЫ˘ВИ Т В‰˚, ЪУ„‰‡ Н‡Н k’ Ë n’ НУТ‚ВММУ УФ В‰ВОfl- ˛Ъ ВУОУ„Л˜ВТНУВ ТУТЪУflМЛВ КЛ‰НУТЪЛ ОЛ¯¸ Ф Л ЪВ˜ВМЛЛ ‚ Н‡ФЛООfl В.

ë‚flÁ¸ ÏÂÊ‰Û n Ë n’ ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡ÂÚÒfl ̇ ÓÒÌÓ‚Â Û ‡‚ÌÂÌËfl (3.49), Ô Ë‚Â‰ÂÌÌÓ„Ó Í ‚ˉÛ

144

НУЪУ УВ ФУТОВ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ У‚‡МЛfl Ф ЛМЛП‡ВЪ ‚Л‰, Ы‰У·М˚И ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl n Ë n’,

ÇÂ΢ËÌ˚ n Ë k ÓÔ Â‰ÂÎfl˛ÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó· ‡ÁÓÏ. éÔ˚Ú- Ì˚ ÚÓ˜ÍË Ì‡ÌÓÒflÚ Ì‡ „ ‡ÙËÍ ‚ ÍÓÓ ‰Ë̇ڇı ln τs – ln vÍ . и У‚У‰flЪ ОЛМВИМУ-НЫТУ˜МЫ˛ ‡ФФ УНТЛП‡ˆЛ˛ УФ˚ЪМ˚ı ‰‡М- М˚ı j-x Û˜‡ÒÚÍÓ‚ (j = 1, 2, 3, ..., m). Ç Ô Â‰Â·ı Í‡Ê‰Ó„Ó j-„У ОЛМВИМУ„У Ы˜‡ТЪН‡ Н Л‚УИ ТУ„О‡ТМУ ЩУ ПЫОВ (3.48) ФУН‡Б‡ЪВО¸ МВМ¸˛ЪУМУ‚ТНУ„У ФУ‚В‰ВМЛfl n’ fl‚ОflВЪТfl ФУТЪУflММУИ ‚ВОЛ˜Л- МУИ, МВ Б‡‚ЛТfl˘ВИ УЪ ln τs.

è Ë ˝ÚÓÏ dn’/d ln τs = Q Ë ËÁ Û ‡‚ÌÂÌËfl (3.54) ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ n = n’.

н‡НЛП У· ‡БУП, ‰Оfl Н‡К‰У„У ‚˚‰ВОВММУ„У Ы˜‡ТЪН‡ ФУН‡Б‡- ЪВОЛ n Ë k ·Ы‰ЫЪ ЛПВЪ¸ ‡БМ˚В БМ‡˜ВМЛfl. СОfl Лı УФ В‰ВОВМЛfl ЛТФУО¸БЫ˛Ъ ЩУ ПЫО˚ (3.44) Л (3.45).

З Т‚flБЛ Т ПМУ„УУ· ‡БЛВП Ф ЛПВМflВП˚ı ·Ы У‚˚ı ‡ТЪ‚У-У‚ „ ‡ЩЛН ОУ„‡ ЛЩПЛ˜ВТНУИ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ τs ÓÚ vÍ ПУКВЪ ТЫ˘ВТЪ‚ВММУ УЪОЛ˜‡Ъ¸Тfl УЪ ОЛМВИМУ„У ‚ ¯Л УНУП ‰Л‡Ф‡БУМВ ЛБПВМВМЛfl Т В‰МЛı ТНУ УТЪВИ Т‰‚Л„‡.

ЗУБМЛН‡˛Ъ Б‡Ъ Ы‰МВМЛfl ‚ НО‡ТТЛЩЛН‡ˆЛЛ КЛ‰НУТЪЛ ФУ В- УОУ„Л˜ВТНУПЫ ТУТЪУflМЛ˛. З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В МВУ·ıУ‰ЛПУ УТЫ˘В- ТЪ‚ЛЪ¸ ФВ ВıУ‰ УЪ НУМТЛТЪВМЪМУИ Н Л‚УИ ЪВ˜ВМЛfl Н ЛТЪЛММУИ. б‰ВТ¸ ТОВ‰ЫВЪ ФУ‰˜В НМЫЪ¸, ˜ЪУ ВУОУ„Л˜ВТНУВ Ы ‡‚МВМЛВ, УЪУ· ‡К‡˛˘ВВ ЛТЪЛММЫ˛ Н Л‚Ы˛ ЪВ˜ВМЛfl, fl‚ОflВЪТfl ЛТıУ‰М˚П ‰Оfl ФУТОВ‰Ы˛˘В„У УФЛТ‡МЛfl ЪВ˜ВМЛfl ТОУКМ˚ı Т В‰ ‚ ‡·У˜Лı ˝ОВПВМЪ‡ı Ф ЛПВМflВПУ„У У·У Ы‰У‚‡МЛfl Т ФУПУ˘¸˛ ЛМЪВ„-‡О¸М˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ.

йТМУ‚М˚В Ф ‡‚ЛО‡ ФВ ВıУ‰‡ Т‚У‰flЪТfl Н ТОВ‰Ы˛˘ВПЫ. гУ„‡ ЛЩПЛ˜ВТНЛИ „ ‡ЩЛН Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ τs ÓÚ vÍ ЛТФУО¸БЫ-

˛Ъ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl n’ ФУ ЩУ ПЫОВ (3.48) ‰Оfl ЩЛНТЛ У‚‡ММ˚ı БМ‡˜ВМЛИ τs.

З˚˜ЛТОfl˛Ъ ТНУ УТЪ¸ Т‰‚Л„‡ М‡ ТЪВМНВ Н‡ФЛООfl ‡ ФУ Ы ‡‚- МВМЛ˛ (3.49) ‰Оfl vÍ , ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı ЩЛНТЛ У‚‡ММ˚П τs.

ç‡·Ó Á̇˜ÂÌËÈ (–du/dr) М‡ УТМУ‚‡МЛЛ (3.18) ЛТФУО¸БЫ˛Ъ ‰Оfl ФУТЪ УВМЛfl ЛТЪЛММУИ Н Л‚УИ ЪВ˜ВМЛfl –du/dr = f(τ), НУЪУ ‡fl Б‡ЪВП УЪУ· ‡К‡ВЪТfl ‚ ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНУП ‚Л‰В. ЗВОЛ˜ЛМ‡ n ‰Оfl ЩЛНТЛ У‚‡ММ˚ı БМ‡˜ВМЛИ τs Ë n’ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ УФ В‰ВОВМ‡ ФУ ЩУ ПЫОВ (3.54).

145