3. Решение систем линейных уравнений

Методы решения систем линейных уравнений можно разделить на три группы: точные (Крамера, Гаусса, и др.), итерационные и специальные (прогонки). В этом разделе изложены итерационные методы, т.к. точные методы очень полно излагаются в курсе высшей математики, а специальные применяются для систем специфического характера.

Рассмотрим систему из n уравнений:

Разрешив первое уравнение относительно x₁, второе – относительно x₂ и т.д., получим:

Правые части уравнений последней системы можно рассматривать как функции от неизвестных x₁, x₂, ... x_n, и тогда систему можно представить в виде:

4.3.1. Метод итераций. Если задать начальные приближения x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ... x_n⁽⁰⁾, следующие приближения к неизвестным будут получены подстановкой начальных приближений в правую часть преобразованной системы. Найденные значения можно использовать снова (процесс итераций), т.е.

где x _i^(k) – приближения, полученные на k-м шаге итерации.

Процесс продолжается до тех пор, пока значения  x_i^(k+1) - x_i^(k) не станут меньше заданной точности ε для всех i = 1,2,... n. Последние полученные приближения являются решением системы уравнений с точностью ε.

Для применения метода итераций существенным является требование сходимости последовательности приближений к решению системы. Итерационный процесс сходится, если сумма отношений модулей коэффициентов каждой строки к диагональному будет строго меньше единицы:

Неравенство будет справедливо, если диагональные элементы системы удовлетворяют условию:

Выбор начальных приближений не влияет на условие сходимости, поэтому можно полагать их равными нулю: (x_i⁽⁰⁾ = 0, i=1,2,.. n) или отношениям свободных коэффициентов к диагональным: (x_i⁽⁰⁾ = b_i /a_i,i, i=1,2,.. n).

Пример. Решить систему уравнений методом итераций с точностью  = 0,005.

x₁ + 4x₂ – x₃ = 4

5x₁ – x₂ + 10x₃ = 14

7x₁ – 5x₂ + 2x₃ = 4

В системе первое уравнение имеет преобладающий коэффициент при неизвестном x₂, а второе – при x₃, а в третьем уравнении такого нет. Сложив первое и третье уравнение системы, можно получить преобладающий элемент при x₁. Переставив уравнения так, чтобы по диагонали стояли преобладающие элементы, получим:

Условия сходимости для коэффициентов преобразованной системы выполняются, т.к. 8 >  (1+1); 4 >  (1+1); 10 >  (5+1).

Разрешив уравнения относительно неизвестных, запишем:

Выберем начальные приближения x₁⁽⁰⁾ = 1, x₂⁽⁰⁾ = 1, x₃⁽⁰⁾ = 1,4. Тогда

Дальнейшие итерации дадут значения приближений: x⁽²⁾ = (1,0125; 1,0125; 1,035); x⁽³⁾ = (1; 1,005; 0,995); x⁽⁴⁾ = (1,000; 1,001; 1,000). Последнее приближение можно считать решением системы с точностью ε =0.005, т.к. max  x_i⁽⁴⁾ – x_i⁽³⁾ = 0,005. Блок-схема алгоритма метода итераций представлена в Приложении 6.

4.3.2. Метод Зейделя. Рассмотренный итерационный процесс можно модифицировать. Для вычисления приближения x_i^(k+1) были использованы, полученные на предыдущем шаге x_i^(k), i=1,2, ..., n. Но к этому моменту уже найдены значения x₁^(k+1), x₂^(k+1), ... x_i-1^(k+1), поэтому для определения x_i^(k+1) имеет смысл их применить, т.е.

Для составления блок-схемы алгоритма метода Зейделя воспользуемся формулой получения приближения на (k+1)-м шаге в виде:

где i = 1, 2, ..., n. На каждом шаге итерации будем вычислять погрешности R_i^(k) = x_i^(k+1) – x_i^(k) и сравнивать их с заданной точностью ε. Блок-схема алгоритма метода Зейделя представлена в Приложении 6.