4.2 Приближенное вычисление определенных интегралов

Численное интегрирование основано на геометрическом смысле определенного интеграла, который заключается в том, что значение

равно площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и кривой подынтегральной функции. Эту фигуру (криволинейную трапецию) разбивают на ряд элементарных фигур с легко вычисляемыми площадями, суммирование которых дает искомое значение интеграла.

4.2.1. Формула прямоугольников. Разбиение интервала интегрирования [a ,b] на n частей приводит к возможности рассмотрения площадей криволинейных трапеций на каждом небольшом отрезке [x_i; x_i+1]. Учитывая малую величину шага разбиения h = (b-a)/n, площадь такой фигуры можно считать приближенно равной площади прямоугольника со сторонами y_i и h (см. рисунок 4.9).

Рисунок 4.9 - Графическая интерпретация метода прямоугольников

Суммирование значений таких площадей (S_i = y_i  h) позволяет получить формулу

«левых» прямоугольников

Блок-схема этого метода представлена в Приложении 6.

4.2.2. Формула трапеций. Замена интеграла на каждом элементарном участке площадью трапеции с основаниями y_i =f (x _i), y _i+1 =f (x _i+1) и высотой h (S _i = h(y _i + y _i+1) / 2) приводит после суммирования к следующей формуле:

Блок-схема метода трапеций представлена в Приложении 6.

4.2.3. Формула Симпсона. Разбиение промежутка [a, b] на четное число (n=2m) отрезков позволяет на каждой паре отрезков [x _i; x _i+2] заменить подынтегральную функцию параболой y(x) = A_i x² + B_i x + C_i. Площадь фигуры, ограниченной сверху параболой, считается по формуле:

Суммирование таких интегралов (площадей, ограниченных параболами) приводит к более точной, чем предыдущие, формуле:

Пример. Вычислить

а) Формула Ньютона-Лейбница

б) Разобьем отрезок [0, 1] на 4 части. Шаг разбиения h = 0,25. Вычисляем в каждой точке разбиения значение подынтегральной функции .

I	0	1	2	3	4
X	0	0.25	0.5	0.75	1
Y	1	0.941	0.8	0.64	0.5

Формула трапеций

I =h  ((y₀ + y₄) / 2+ y₁ + y₂ + y₃) = 0.25  ((1 + 0,5) / 2 + 0.941 + 0.8 + 0.64) =0,7828

Формула Симпсона:

I = (h / 3)[y₀ + 4(y₁ + y₃) + 2y₂ + y₄] = (0,25 / 3) [1 + 4(0,9412 + 0,64) + 20,8 + 0,5] = 0,7854

Расчеты показывают хорошее совпадение результатов, полученных численным интегрированием, с результатом непосредственного интегрирования. Увеличение числа разбиений приведет к более точным результатам.

При вычислении интегралов описанными методами оценить количество разбиений отрезка удается достаточно редко. В таком случае следует выполнить расчеты интеграла для шага h и h / 2, и полученные значения сравнить. Если для формулы Симпсона оценочная величина больше заданной точности ε, то приходится уменьшать шаг до h / 4 и т.д., пока на каком-то этапе не будет выполнено условие:

Данный алгоритм позволяет вычислить значение интеграла с автоматическим выбором шага. Его схема представлена в Приложении 6, где для удобства программирования использована измененная формула Симпсона: