методичка_строит. констр

4. Расчет требуемого момента сопротивления при работе балки в упруго - пластической стадии, в соответствии с выражением (10)

5. Вывод: в соответствии с сортаментом, представленном в таблице 8, для выполнения условия прочности рассматриваемая балка должна быть изготовлена из прокатного швеллера №8 (или больше), момент сопротивления которого равен 22,4 см3.

Задача 4. Расчет многопролетных балок

Формулировка задачи Для балки, изображенной на рис. 16 требуется:

—определить степень свободы рассматриваемой системы;

—построить эпюры внутренних силовых факторов и линии влияния внутренних усилий в сечении k при помощи статико-кинематического метода;

—определить усилия в сечении k по линиям влияния от заданной нагрузки и сравнить их с усилиями на эпюрах.

Исходные данные:

l=2 м; l M=4 кН·м; F=2 кН; q=2 кН/м.

Рис. 16.

Рекомендации для решения.

1. Кинематический анализ системы а) Степень свободы системы

При решении вопроса о статической определимости и геометрической

31

неизменяемости многопролетной шарнирной балки следует иметь в виду, что такую балку всегда можно получить из неразрезной, т. е. статически неопределимой балки, включив в нее ряд шарниров. Число таких шарниров равно степени статической неопределимости неразрезной балки.

Каждый шарнир, установленный в пролете или на опоре неразрезной балки, позволяет составить одно дополнительное уравнение статики — условие равенства нулю суммы моментов относительно шарнира всех сил,

приложенных к балке по одну сторону от него. Если поместить в неразрезной балке столько шарниров, сколько она имеет лишних неизвестных, то статически неопределимая балка обратится в статически определимую, так как в этом случае все неизвестные можно будет найти с помощью уравнений

статики.

Шарниры в балке при этом должны быть расположены таким образом,

чтобы система во всех своих частях была статически определимой и

неизменяемой.

Следует напомнить, что жесткая заделка содержит три связи (схема такого закрепления изображена на рис. 17, а), а жесткая заделка с горизонтальной подвижностью может быть изображена двумя связями (рис.

Рис. 17

Для определения степени свободы рассматриваемой балки можно

б) геометрическая неизменяемость многопролетной балки следует из анализа ее «монтажно-поэтажной» схемы. Таким образом, для решения вопроса о неизменяемости многопролетной балки, а также для более

32

наглядного представления о ее работе следует изобразить схему взаимодействия отдельных элементов балки. На этой схеме промежуточные шарниры заменяются шарнирно-неподвижными опорами, соединяющими отдельные элементы балки.

Пример «монтажно-поэтажной» схемы для рассматриваемой балки показан на рис. 18. Как видно рассматриваемая система состоит из трех отдельных дисков. Все диски на этой схеме имеют необходимое число правильно установленных связей. Следовательно, многопролетная балка является статически определимой системой.

Рис. 18. 2. Определение реакций в связях.

Для определения реакций в опорных связях и подвесных шарнирах необходимо отдельно рассмотреть каждый диск.

3. Построение эпюр внутренних силовых факторов (поперечной нагрузки и изгибающего момента)

Эпюры строятся отдельно для каждого диска, соединив их получаем общую эпюру для рассматриваемой балки. Правила построения эпюр аналогичны представленным в ходе решения первой задачи. Заметим, что найденные в каждом шарнире равные и противоположные по знаку силы y1 и y2 в сумме всегда дают нуль, а потому наличие в балке шарнира не вызывает скачка в эпюре Q. Однако в рассматриваемом примере в шарнире 1 будет иметь место скачок, который вызван тем, что там приложена сосредоточенная сила F2=2кН.

4. Построение линии влияния внутренних силовых факторов в сечении k статико-кинематическим методом.

Построение линий влияния кинематическим методом основано на использовании принципа возможных перемещений, изучаемого в курсе теоретической механики. Напомним его формулировку: если система находится в равновесии, то сумма работ всех сил на любых возможных перемещениях равна нулю. Возможные перемещения — бесконечно малые

33

перемещения, допускаемые связями. Возможные перемещения направлены по касательной к действительной траектории

Для построения линий влияния из балки удаляется связь, линию влияния усилия в которой требуется построить, а усилие в этой связи заменяется силой Х. В полученном таким образом механизме с одной степенью свободы строится эпюра возможных перемещений ( Р).

Возможное перемещение, возникающее от действия усилия Х ( Х),

определяется одним параметром, так как получаемый после отбрасывания связи механизм имеет одну степень свободы. Возможное перемещение необходимо задавать таким образом, чтобы сила X совершала положительную работу (перемещение Х совпадает с направлением силы

X).

В теории линий влияния на основе принципа возможных работ доказано, что вид линии влияния совпадает с очертанием эпюры возможных перемещений. При известном очертании линии влияния любую ее ординату несложно вычислить из законов статики. Для этого достаточно установить единичный груз над ординатой, отделить часть балки, содержащей искомое усилие, и рассмотреть равновесие этой части. Поскольку линии влияния усилий в статически определимых системах имеют полигональный вид, то достаточно найти всего одну наиболее просто определяемую из условий равновесия ординату этой линии влияния.

Итак, для построения линии влияния кинематическим методом необходимо:

а) Отбросить связь, линию влияния усилия в которой необходимо построить, заменив ее действие силой X.

б) Задать полученному механизму возможное перемещение таким образом, чтобы сила X совершала положительную работу, в результате чего получим эпюру возможных перемещений Р.

в) Для определения линии влияния усилия, соответствующего силе Х,

согласно принципу возможных перемещений, следует воспользоваться выражением

Следует напомнить, что горизонтально неподвижная опора имеет две связи; жесткая заделка – три; горизонтально подвижная опора – только одну,

34

препятствующую вертикальным перемещениям. При этом отбрасывать необходимо только ту связь, которая соответствует усилию, линию влияния которого необходимо построить.

Для примера построим линии влияния опорных реакций рассматриваемой балки, а также определим их значения:

Построение линии влияния опорной реакции RA и определение ее величины

а) Отбрасываем связь в опоре А и заменяем ее действие силой Х.

б) Зададим полученному механизму возможное перемещение таким образом, чтобы сила X совершала положительную работу, в результате чего получим эпюру возможных перемещений Р.

Эпюра возможных перемещений отрицательна, поскольку заданное перемещение направлено в сторону, противоположную единичной силе Р.

в) Изобразим линию влияния опорной реакции RA, воспользовавшись выражением (6.8)

Правильность построения линии влияния можно проверить, определив опорную реакцию, воспользовавшись выражением (6.6)

1

RA 4кНм ( ) 2кН 0 2кН/м 0 1кН 4

35

Определение опорной реакции RВ

2

RВ 4кНм 2кН 2 2кН/м 2 2кН

4

Определение опорной реакции RС

36

Определение опорной реакции RD

Для построения линий влияния внутренних усилий в сечении балки после отбрасывания связи, соответствующей поперечной силе, приложим искомые силы X таким образом, чтобы они совпадали с положительным направлением поперечных сил. Отличие в построении линий влияния внутренних сил от линий влияния опорных реакций состоит в том, что необходимо прикладывать не одну силу, а две. Одна из сил представляет действие правой части балки на левую, а другая — наоборот. При этом схема балки будет выглядеть следующим образом:

Для построения линии влияния момента в рассматриваемой точке врезается шарнир и моментная связь заменяется моментом X. Отличием данной задачи является то, что перемещение Х является углом поворота.

37

Пример схемы представлен на рисунке ниже.

Решение задачи:

1.Определение степени свободы рассматриваемой многопролетной балки в соответствии с выражением W= 3·3-(2·2+5) = 0.

2.Определение опорных реакций из анализа монтажно-поэтажной схемы балки.

Для определения реакций в опорных связях и подвесных шарнирах рассмотрим отдельно каждый из 3 дисков.

Диск А-1.

Определим неизвестные реакции х1,y1, yA из условия, что сумма моментов всех сил относительно любой точки на оси балки должна равняться 0.

38

Реакцию х1 можно определить из условия, что сумма проекций всех сил на ось Х равна 0, соответственно х1=0.

Как видно, опорная реакция yА RA 1кН, что соответствует результатам, полученным при построении линии влияния опорной реакции

RA

Диск 1-2.

Определим неизвестные реакции х2,y2, yВ:

М(В) 4y1 4 2кН 4y2 4 2кН / м 2 0

y2 4 2кН/м 2 4 2кН 4y1 16 8 4 5 кН;

44

М(2) 4yВ 4 2кН / м 2 8 2кН 8y1 0

Реакцию х2 можно определить из условия, что сумма проекций всех сил на ось Х равна 0, соответственно х1-х2=0, тогда х2= х1=0.

Диск 2-D.

Определим неизвестные реакции хD,yD, yC :

39

xD= х2=0.

Таким образом, RА 1кН; RB 2кН; RC 17.5кН; RD 4.5кН

Правильное направление и величины найденных реакций показаны на рисунке.

3. Построение эпюр внутренних силовых факторов:

40