Афанасьева_Сб задач по ТМ для СТ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ CТРОИТЕЛЬНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

290300 - Промышленное и гражданское строительство

290600 - Производство строительных материалов

290700 – Теплогазоснабжение и вентиляция

656300 – Технология лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств

291500 – Экспертиза и управление недвижимостью

291000 - Автомобильные дороги и аэродромы

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Часть3.Динамика

Подготовили: Афанасьева А.А., Алхунсаев Г.Г., Тришина В.Н.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ , 2005

2

Ключевые слова: динамика, дифференциальные уравнения, интегралы, законы движения, общие теоремы динамики, аналитическая механика.

Сборник контрольных заданий для студентов строительных специальностей заочного обучения по динамике включает задачи по динамике точки, общим теоремам динамики, аналитической механике в соответствии с рабочими программами.

3

Контрольные задачи по динамике выдаются соответственно для данных специальностей 2903,2907, 2906, 656300, 291500, 291000 -

«ПГС, ТГВ, ПСМИ, ТЛДП, ЭиУН, АДиА» соответственно в объеме двух контрольных работ, которые подразделяются по темам: -первая контрольная работа состоит из шести задач - по динамике точки, общим теоремам динамики механической системы, дифференциальным уравнениям движения твердого тела: Д1, Д2, Д3,

Д4, Д5, Д6.

-вторая контрольная работа состоит из трех задач по аналитической механике - принципа возможных перемещений, общего уравнения динамики, уравнений Лагранжа 2 рода для механической системы: Д7,

Д8, Д9.

Номер варианта контрольной работы выбирается по двум последним цифрам номера зачетной книжки.

Каждая задача по динамике содержит 30 вариантов. В случае если вариант работы по динамике больше чем цифра 30, то задачи по вариантам следует выбирать из таблицы вариантов работы на странице 56. Например, шифр 323332, вариант 32, то задачи первой контрольной работы будут: Д1вар.20, Д2 - вар.22, Д3 - вар.2, Д4 - вар.20, Д5 - вар.22, Д6 - вар.2; второй контрольной работы : Д7 - вар.20, Д8вар.22, Д9 - вар.2.

4

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТ

Каждое задание выполняется в отдельной тетради.

На обложке указываются: названия дисциплины, номер работы, фамилия, инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность, курс. Оформление титульного листа смотрите на странице 57.

Решение каждой задачи обязательно начинать наверху страницы тетради. Сначала указывается номер задачи, тема, вариант. Далее делается чертёж, выполненный в соответствии с заданными геометрическими размерами и углами, записывается что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать).

Решение каждого задания нужно начинать с выполнения расчётной схемы. На расчётной схеме должны быть указаны все силы, в том числе, реакции опор, приложенные к рассматриваемому объекту и векторы скоростей и ускорений при его движении, выбранная система отсчета. На расчётную схему переносятся все необходимые геометрические размеры. Схема должна быть выполнена с помощью чертёжных инструментов и занимать половину тетрадной страницы.

Решение задач необходимо сопровождать пояснениями. Обозначения на расчётной схеме и в решении задачи должны совпадать. Далее нужно написать ответ с указанием единиц измерения каждой найденной величины. Считать с точностью до 0,01. На каждой странице должны оставлять поля для замечаний рецензента. Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут. К работе, высылаемой на повторную проверку, если она выполнена в другой тетради, должна обязательно прилагаться не учтённая работа. Если работа зачтена с замечаниями, следует выполнить работу над ошибками.

Все зачтённые работы «защищаются» перед преподавателем. При этом студент должен уметь объяснить решение каждой задачи своей работы.

Зачёт по контрольной работе и экзамен принимаются при наличии на обложках тетрадей отметки о защите контрольных работ по динамике.

5

Краткая рабочая программа по динамике.

Введение в динамику. Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, материальная точка, сила. Силы, зависящие от времени, от положения и от скорости. Законы механики ГалилеяНьютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.

Динамика точки.

Решение первой и второй задачи динамики. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах. Естественные уравнения движения точки.

Две задачи динамики материальной точки. Решение первой задачи динамики.

Решение второй задачи динамики. Начальные условия. Постоянные интегрирования и их определения по начальным условиям.

Несвободное и относительное движение точки. Несвободное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения движения материальной точки по заданной гладкой неподвижной кривой. Определение закона движения и реакции связи.

Относительное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки; переносная и кориолисова силы инерции. Принцип относительности классической механики. Случай относительного покоя.

Введение в динамику механической системы. Механическая система. Классификация сил, действующих на механическую систему: активные силы (задаваемые) и реакции связей; силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Масса системы. Центр масс; радиус-вектор и координата центра масс.

Моменты инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси; радиус инерции. Моменты инерции относительно плоскости и полюса. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера-Гюйгенса). Примеры вычисления моментов инерции (моменты инерции однородного тонкого стержня, тонкого круглого кольца или плоского цилиндра и круглого диска или сплошного круглого цилиндра). Формула для вычисления момента инерции относительно любого направления. Центробежные моменты инерции. Главные и главные центральные оси инерции и их свойства.

Общие теоремы динамики.

Теорема о движении центра масс. Дифференциальные уравнения движения системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения центра масс.

6

Теорема об изменении количества движения. Элементарный импульс силы. Импульс силы за конечный промежуток времени и его проекции на координатные оси. Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и конечной формах.

Количество движения механической системы: его выражение через массу системы и скорость ее центра масс. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения механической системы.

Теорема об изменении момента количества движения. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Центральная сила. Сохранение момента количества движения материальной точки в случае центральной силы. Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы. Теорема об изменении кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс.

Теорема об изменении кинетической энергии. Кинетическая энергия материальной точки. Элементарная работа силы; аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения. Мощность. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной формах.

Кинетическая энергия механической системы. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном движении, при вращении вокруг неподвижной оси и в общем случае движения (в частности, при плоскопараллельном движении). Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной и конечной формах. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция. Выражение проекции силы через силовую функцию. Поверхности равного потенциала. Работа силы на конечном

7

перемещении точки в потенциальном силовом поле. Потенциальная энергия. Примеры потенциальных силовых полей: однородное поле тяжести поле тяготения. Закон сохранения механической энергии.

Динамика твердого тела.

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

Аналитическая механика.

Принцип Даламбера. Силы инерции материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Приведение сил инерций точек твердого тела к центру; главный вектор главный момент сил инерции.

Определение динамических реакций подшипников при вращении тела вокруг неподвижной оси. Случай, когда ось вращения является главной центральной осью инерции тела.

Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики.

Связи, налагаемые на механическую систему. Возможные (или виртуальные) перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.

Уравнения движения системы в обобщенных координатах

(уравнения Лагранжа). Обобщенные координаты системы; обобщенные скорости. Выражение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление; случай сил, имеющих потенциал. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода. Уравнения Лагранжа 2-го рода в случае потенциальных сил; функция Лагранжа (кинетический потенциал).

Понятия об устойчивости равновесия. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия системы и их свойства.

Элементы теории удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.

8

1. Динамика материальной точки.

ЗадачаД1. Первая задача динамики точки.

Движение материальной точки массой m=0,2 кг происходит: либо по окружности радиусом r согласно уравнению s=s(t), либо согласно уравнениям x=x(t), y=y(t). Определить величину равнодействующей силы, приложенной к точке, как функцию от времени.

Необходимые данные взять из таблицы Д1 на стр.8, 9.

Указание. Для решения данной задачи необходимо знать основной закон механики в координатной ,векторной и естественной формах.

Задача Д.2. Вторая задача динамики. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v0 ,

движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. Участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный. На участке АВ на груз кроме

силы тяжести действует постоянная сила Q (ее направление показано

на рисунках) и сила сопротивления среды R , зависящая от скорости v груза ( сила направлена против движения).

В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует

переменная сила F , проекция которой на ось х задана в таблице Д.2. Ось х направлена по ВС от точки В.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=L или время t1 движение груза от точки A до точки В, найти закон движения груза

на участке ВС, т.е. х=x(t). Трением груза о трубу пренебречь.

Все данные взять из таблицы Д2, см. на стр.10 , а рисунки см. на стр.11, 12, 13.

10

14

Задача Д.З Исследование относительного движения материальной точки

Шарик М, рассматриваемый как материальная точка, перемещается по цилиндрическому каналу движущегося тела А , рис. см. на стр. 1618.

Найти уравнение относительного движения этого шарика x=х(t), приняв за начало отсчета точку O. Тело А равномерно вращается вокруг неподвижной оси (в вариантах 2-5, 7-11, 13, 14, 16, 18-21, 23, 24, 26-30 ось вращения z1 вертикальна, в вариантах 1, 12, 15 и 25 ось вращения x 1 горизонтальна). В вариантах, 6, 17, 22 тело А движется поступательно, параллельно вертикальной плоскости y1 01 z1 .

пружины; f— коэффициент трения скольжения шарика по стенке канала; x0 , x&0 — начальная координата и проекция начальной скорости на ось x .

15

Таблица Д3

16

z1

r

O

α

ω

x

z1

M ω

α O

z1

O

ω

A

z1

A

O

ω

M

αx

α

19

2. Основные теоремы динамики механической системы.

Задача Д4. Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твёрдого тела.

Тело Н массой m1 вращается вокруг вертикальной оси z c постоянной угловой скоростьюω0 ; при этом в точке О желоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, находится материальная точка К массойm2 . В некоторый момент времени (t=0) на систему начинает действовать пара сил с моментом M z = M z (t) .При t = τ действие сил прекращается.

Определить угловую скорость ωτ тела Н в момент t=τ.

Тело H вращается по инерции с угловой скоростью ωτ .

В некоторый момент времени t1 = 0 ( t1 - новое начало отсчёта

времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении к В) по закону

ОК = s = s( t1 ).

Определить угловую скорость ω T тела Н при t1 = Т.

Тело Н рассматривать как однородную пластинку, имеющую форму, показанную на рис, см. стр. 23-25. Необходимые для решения данные приведены в таблице Д4 , что на стр.20, 21 и на стр.22 в таблице Д4а «Осевые моменты инерций однородных пластинок».

Примечание к таблице Д4.. Знак минус перед M z и ω

соответствует направлению вращения по часовой стрелке, если считать, что положительное направление по оси z – против часовой стрелки.

20