Поверхностное натяжение.

Работа, необходимая для образования единицы поверхности называется межфазным или поверхностным натяжением , измеряется в н/м² в системе СИ. Поверхность раздела между фазами стремится к минимуму под действием поверхностных сил, капли имеют форму, близкую к шару. Поверхностное натяжение уменьшается с увеличением температуры. Величина поверхностного натяжения влияет на смачивание капельными жидкостями твердых материалов ( фильтрование, адсорбция, конденсация).

Давление жидкостей.

Давление жидкости на единицу поверхности называется гидростатическим давлением.

р=Р /F,

где Р – сила давления жидкости на поверхность F.

Если жидкость налита в сосуд, то сила давления, действующая на его дно равна весу жидкости в сосуде:

Р= FН g,

где F – площадь дна сосуда, Н – высота столба жидкости, плотность жидкости,g – ускорение свободного падения.

Следовательно

р= Н g,

т.е. давление жидкости на дно сосуда равно весу столба жидкости высотой Н с площадью основания 1м².

Если давление над жидкостью равно р₀ то гидростатическое давление будет равно :

р = р₀ +Н g.

Давление на вертикальные или наклонные стенки сосуда не является постоянным по высоте стенки, поэтому гидростатическое давление в каждой точке сосуда рассматривается как предел отношения силы давления ΔР к элементарной площади ΔF при F стремящейся к нулю.

р =lim ΔР / ΔF

Давление направлено по нормали к площадке, на которую оно действует одинаково по всем направлениям.

Размерность давления в системе СИ [н/м² = Па]. Существуют внесистемные единицы измерения давления:

Атм- давление , которое оказывает столб ртути высотой 760 мм, или столб воды высотой 10,33 м = 101 300 н/м² ( физическая атмосфера).

Ата- давление , которое оказывает столб ртути высотой 735,6 мм или 10 м водного столба = 98 100н/м² (техническая атмосфера ).

1Па=1 н/м² = 10^-5 бар.

Уравнение расхода и неразрывности потока.

Рассмотрим движение жидкости

-объемный расход;

G=ρV=ρwf – массовый (весовой) расход, кг/сек., ρ – плотность (кг/м³)

G= ρ₁w₁f₁= ρ₂w₂f₂= … =const, откуда уравнение неразрывности для сжимаемых сред: ρwf =const

Для несжимаемых сред (ρ₁= ρ₂=… = ρ = const) и имеем:

wf =const

Понятие «сплошная среда»

Силы, действующие в сплошной среде

1. Массовые силы – силы, пропорциональные массе. Сила тяжести Р =mg. Единичная массовая сила Е.М.С.=- сила, отнесенная к единице массы; имеет размерность ускорения (м/с²). Проекции единицы массовой силы на оси координат:X, Y, Z.

2. Поверхностные силы – пропорциональны поверхности.

Нормальные поверхностные силы действуют по нормали к поверхности.

Сила давления Р = рF, где р - давление [].

Тангенциальные поверхностные силы действуют по касательной к поверхности.

Сила трения (согласно закону Ньютона)

Р_тр= - μF_тр

Вывод основного уравнения гидродинамики

Основное уравнение гидродинамики характеризует перенос количества движения (импульса) в сплошной среде (жидкости (газе)).

Основной задачей при анализе переноса импульса является определение закономерностей (зависимостей):

p=f(x, y, z, τ); w=φ(x, y, z, τ) – нестационарный режим

p=f(x, y, z,); w=φ(x, y, z,) – стационарный режим.

Рассматриваем баланс сил в отсутствии источников количества движения в элементарном объеме dV=dxdydz

1. Массовые силы (вопрос о ее направлении решается в каждом конкретном случае).

Тогда (ЕМС)_x=X=, откуда

X·m=Xρdxdydz

2. Нормальные поверхностные силы (силы давления)

pdydz – (p+dydz= -

3. Тангенциальные поверхностные силы (силы трения).

Рассматриваем верхнюю и нижнюю грани

H_x= τ_H·dxdy - τ_в·dxdy, где dxdy=df_тр

;

;

Тогда H_x:

τ_H·df – τ_в·df= =++=

(-)

=μ (++)dx dy dz=μw_x dx dy dz

В соответствии со вторым законом Ньютона результирующая массовых и поверхностных сил равна силе инерции, т.к. .

В нашем случае

X ρ dx dy dz - dx dy dz + dx dy dz = F_ин

F_ин=ma=ρ dx dy dz , где а = - ускорение, тогда:

X ρ dx dy dz - dx dy dz+ =ρ dx dy dz

разделим уравнение на (ρ dx dy dz) и учитывая, что ν =преобразуем уравнение в следующий вид:

=Х + -

=У+ - Система уравнений Навье - Стокса

=Z+ -

Необходимо иметь в виду, что w_x – функция координат и времени, аналогично для w_y w_z.

Полный дифференциал равен:

dw_x=dτ+dx+dy+dz ,

имея в виду, что = w_x; = w_y; = w_z,

делим каждое слагаемое уравнения на :

=+++=+w_x+w_y+w_z

и аналогично для и

Основы теории гидродинамического подобия:

Существует геометрическое подобие, подобие физических параметров, временное подобие, подобие действующих сил.

Рассмотрим движение реальной жидкости под действием силы тяжести,

то есть движение вдоль оси Z.

Z-+ν(w_z)= ,

=+w_x+ w_y+ w_z

В нашем случае равномерное однонаправленное движение вдоль оси Z , значит ускорение а = = 0, w_x = w_y= 0, уравнение можно записать :

= w_z= и тогда

Z - +ν(w_z) = ; ×dz , тогда

Zdz-dz+ν(w_z) dz = ,

так как движение вдоль оси Z происходит под действием силы тяжести,

то Z= -g

+=

:→(критерий Фруда)

:→→E_u (критерий Эйлера)

:→→→Re (критерий Рейнольдса)

Таким образом, получено общее критериальное уравнение гидродинамики

- -+=1 или –F_r - E_u +=1.

Определяемым критерием является E_u (т.к. нас интересует Δр); определяющими Re и F_r, поэтому уравнение Навье - Стокса в критериальном виде можно записать:

E_u=–F_r–1, E_u=f(Re, F_r)

Cочетание базовых критериев подобия, позволяет получить новые критерии, так например :

Re² F_r==→Ga= - критерий Галилея

Ga=→ Ar= - критерий Архимеда

Уравнение Бернулли

Для однонаправленного равномерного движения под действием силы тяжести Уравнение Навье – Стокса имеет вид:

+ ν(w_z)=,

где Лаплассиан w_z=++.

Распределение скоростей w_z по осям не известно, поэтому вводим понятие «идеальная жидкость», для которой =0.

Тогда =0 , разделим обе части на

= 0;

откуда для идеальной жидкости

=0

Для реальной жидкости уравнение Бернулли имеет вид

=+ h_п, где h_п – потерянный напор.

Вывод уравнения Дарси-Вейсбаха

Баланс сил:

Р_тр=0

ΔР_тр=0,

где Р_тр=τ_трF_тр=τ_тр

Δτ_тр=0→ Δ=

h_п=.

Приняли, что ~, тогдаh_п~

Ввели коэффициент пропорциональности λ – коэффициент гидравлического сопротивления.

h_п = λ- уравнение равномерного движения реальной жидкости, уравнение Дарси-Вейсбаха.

Тогда уравнение Бернулли для реальной жидкости принимает вид:

=+λ

Для ньютоновской жидкости

при ламинарном режиме: Re2300 λ=,

Re=10⁴-10⁵ λ= - формула Блазиуса

Re=10⁵-3,4·10⁶ λ=0,0032+0,221·Re^-0,237 – формула Никурадзе

Re=10⁴-2·10⁷ λ=0,16/ Re^0,16 – формула Женеро.

Для турбулентного режима =2- 0,8;= - 2

Для автомодельного режима =2, где;s – высота выступов шероховатости (для новых стальных труб s=0,1мм, старых – 2мм; для чугунных s=0,25мм)

Применение Уравнения Бернулли

Расчёт простого трубопровода

Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Н- располагаемый напор, если - движение возможно

, где- гидравлическое сопротивление прямых участков

- гидравлическое сопротивление фасонных частей

- справочная величина

- скорость движения жидкости

Для длинных трубопроводов

, тогда

Расход

1. Задан расход определитьd или задан d – определить расход

- гидравлический уклон – потери напора на 1 м трубопровода

Трубопровод с непрерывным путевым и транзитным расходом

Для простого трубопровода известно, что

w=и υ =

Если на единице длины трубопровода должно отводиться υ[], то путевой расход υ_п=υ.

Иногда требуется, чтобы из последнего сечения уходил дополнительный поток υ_т – транзитный.

Следовательно, суммарный расход равен (υ_п+ υ_т).

Суммарный поток по длине меняется, тогда на участкеdx имеем

dh_n=λ()

и

Так как на всем отрезке пути было х отводов с расходом υ[], то общий расход равен , скорость равна:

w=,т.е.

dh_n=dx

h_n ==

h_n=

В частном случае, когда υ_т=0 и h_n=

Когда υ_п=0 → h_n=

Истечение жидкости через отверстия

I. истечение при h =const

=+h_п

(Z₁-Z₂)=Н; =

Н= - +h_п

Истечение из бокового отверстия

[+h]=

f₀w₂=Fw₁; w₁= w₂

Н=w²+h_n; где h_n=

2gH=[1-()²] w²+ w² или 2gH=(1+) w²

w=→ w=

υ=₀w→ υ =₀;=μ_p → υ = μ_{p 0}

Истечение через водослив

==

=b(H-H)

=bh

Опыт показывает, что толщина струи под порогом соответствует максимальному расходу.

Следовательно, =0

=b(-)=0,

но b0.

Тогда =; (H-h)=;H=h или h=H

Тогда

=b=b или

=bH

Опорожнение (истечение при переменном уровне)

За время :

-d=F_cdr(м³)

d=f₀(м³)

-F_cdr=f₀, откуда

==-

;;

Истечение из донных отверстий при постоянном напоре

- скорость перемещения слоёв в сосуде

- скорость истечения

; ;

относ. к самому узкому сечению струи - коэф. сжатия струи

- к-т расхода

Характеристика реальных жидкостей.

Ньютоновские жидкости.

1.Сила трения между слоями жидкости может быть выражена уравнением: =μF_{тр, откуда}

=τ_тр=μ,

где τ_тр – напряжение сдвига (касательное); - градиент сдвига; μ-вязкость

τ_тр ;

τ_тр=μ_к()^а, а=1 для ньютоновской жидкости

Неньютоновские жидкости. Бингамовские жидкости

τ_тр=μ_к()^а τ_тр= τ₀+μ_н(-)

Бингамовские жидкости- осадки

2 – псевдопластичные a<1,разбавленные суспензии

1 – дилатантные a>1, концентрированные суспензии

2. Режимы движения реальных жидкостей

Ламинарный параллельно-струйчатый режим

Турбулентный (вихревой) режим

Законы ламинарного режима.

2.1 Распределение касательного напряжения трения τ_тр

Р_тр= μ_к()^аF_тр, откуда

τ_тр==μ_к()^а

Баланс сил Δр- τ_трF_тр=0;

Δр=τ_тр, откуда

τ_тр=

при r =0→τ_тр=0

при r =R→ τ_тр== τ_max= τ_s

2.2 Распределение скорости по сечению круглой трубы.

τ_тр=

μ_к()^а = ;

()^а =

= [→+[

=[()

Для ньютоновских жидкостей а=1 и :

= () параболическое распределение =f(r)

При этом [;

для ньютоновских жидкостей (а=1, )

_мах=

2.3.Расход и средняя скорость

Изменение расхода dυ= df, где df=2πrdr-площадь колечка

=[()

dυ=[()2πrdr

[()r dr

rdr = R²==

rdr =dr =

()dr = ()==

υ = [=[

Для ньютоновских жидкостей (а=1, )

υ= - уравнение Пуазейля-Гагена

Средняя скорость для ньютоновских жидкостей:

_ср===, _мах=, тогда=

Средняя скорость для неньютоновских жидкостей:

_ср=[

2.4 Коэффициент гидравлического сопротивления:

Для средней скорости ньютоновской жидкости имеем

_ср ===

Re=→;

=

=

=

h_n==,

λ=

Для неньтоновской жидкости:

λ=, где Re_(н.ж.)=

h_n==λ; =, т.е.E_u=,E_u=

Бимгамовские жидкости

Рассмотрим движение ламинарного потока и стержнеподобного ядра потока

Для ламинарного потока: r>r₀ и τ_тр> τ₀

Р_тр=F_тр τ_тр=, откуда

=;

=- τ₀;

=(- τ₀);

=[- τ₀] приr₀rR

=[(R²-r²) - τ₀(R-r)]

Видно, что при τ₀=0 → имеем распределение w=f(r) для ньтоновской жидкости.

=[(R²-r²)

Скорость стержня (при r = r₀):

_ст=[(R²-r₀²) - τ₀(R-r₀)]

Расход бингамовской жидкости

υ= υ_ст+ υ_{кольц.сеч.}

υ=πr₀² _ст+=πr₀² _ст+2π[(R²-r²) - τ₀(R-r)]rdr=

= πr₀² _ст+(R²-r²)rdr - (R-r)rdr

R²rdr - r³dr = R²rdr -r³dr = R²() - ()

Rrdr - r²dr= R() - ()

После интегрирования и подстановки значений _ст , τ₀=r₀, r₀=и имеем:

υ=[1-],откуда

_ср==[1-()⁴]

Коэффициент гидравлического сопротивления

+=+, т.е. λ=f(Re=), гдеC=.

Пленочное движение жидкостей

Рассмотрим гравитационное движение ньютоновской жидкости вдоль вертикальной стенки (движение только под действием силы тяжести)

Z-+ν(w_z)=;

1. движение под действием силы тяжести: Z=+g;

2. при Z=const→dp=0→p= const: =0;

3. движение стационарное: =0

4. движение однонаправленное, т.е.

g +ν=0;

g +=0;

=

Интегрируем: Вводим граничные условия:

=х+С₁; при х=0;w=0 (явление прилипания)

w=х²+С₁x+C₂ при х=δ; =0

при х=0 и w=0 имеем С₂=0

при =0 - +С₁ =0 →С₁=

Тогда распределение скорости по толщине пленки равно

w=х²+х – параболическое распределение w по толщине пленки

при х=0→ w=0

при х=δ→ w_max=+=

Средняя скорость движения пленки жидкости

Принимают dυ=wdf, где df=1м∙dx, т.е.расход на длине 1м

Тогда w_ср===dx

w_ср =[-]=;

w_ср=

Отношение =

Расход жидкости на длине 1м

υ ₁= δ w_ср [] – линейная плотность орошения

υ ₁=δ, откуда δ=

Необходимо знать зависимость δ=f(Re).

Re==, где d_экв===4δ_ср

Re==, откуда

υ ₁=

δ==

δ_ср=справедливо приRe<20 (ламинарный режим)

δ_ср=20<Re<1600 (волновой режим)

δ_ср=0,185()Re^0,5 Re>1600 (турбулентный режим)

Изложенный метод применим для неньютоновских жидкостей. Так для дилатантных и псевдопластичных жидкостей

w_ср=

δ=[V₁]

Перемещение жидкостей (поршневые и ц/б насосы)

1. Напор и мощность насосов

- манометр - вакууметр - общая геометрическая высота 1 метод определения напора

2 метод

Напор – разность удельных энергий на линии нагнетения и всасывания

Для пром. условий h=0

Мощность насоса [кВт]

Поршневые насосы

S – ход поршня F – площадь поршня FS – объём жидкости на 1 ход

- для насоса однократного действия

Насос двойного действия

Насос тройного действия – 3 насоса одинарного действия

- 2 насоса двойного действия

- кратность действия

<1 за счёт плохой работы клап. короб.

Зависимость производительности от хода поршня

Закон хода поршня

- радиус кривошипношатунного механизма

С – скорость поршня

; ; ; C=0

; ; ; C=max

Производительность

i=1	Диаграмма подачи (производительности) поршневых насосов
i=2

Недостаток поршневого насоса - неравномерность подачи геометрическая высота всасыв. поршневого насоса. Движущей силой процесса всасыв. явл. , которая расходуется

1. подъем жидкости н-а

2. преодолеть гидр. сопр.

3. инерционные потери

Гидравлический удар

- парциальное давление паров перекачив. жидкости при т-ре T

В цикле нагнетания вакуум

- конденсация паровой подушки резкоеV; t- справочник гидравлический удар. Определение инерционных потерь во всасыв.????

Сила инерции массы жидкости во всасыв. тр-де.

- закон Ньютона

a- ускорение

m

На преодоление этой силы инерции расход. часть напора насоса

1. ускорение массы жидкости в трубопроводе

Используем ур-е неразрывности

площадь всасыв. ускорение поршня

тр-да

w

Сопоставим гидр. и инерционные потери во всасыв. тр-де

~ ~

~

10м

Центробежные насосы, за счет передачи ж-ии ц/б передаем создаем напор

Вывод основного ур-я ц/б насоса

W- относительная скорость

u- окружная скорость на выходе 2

c- абсолютная скорость на входе 1

Сумма кол-ва движения равна моменту равнодейств.

сил (для 1 элемент. частицы)

- плечо на выходе

Момент на выходе - сумм. момент

Домножим на w правую и левую части

- мощность насоса

- окружная скорость

Основное ур-е ц/б насоса

Для безудержного входа жидкости на рабочее колесо,

(конструктивно)

За счет некоторого неподобия скоростей на входе и выходе лопатки появл. объемный кпд.

Производительность ц/б насоса

- радиальное сост. абсолютной

Зависимость напора от производительности

чем больше

пренебрегаем

Действительная зависимость напора от производительности

Площадь под касательной- потери на кавитацию.

Кавитация в ц/б насосе.

при - жидкость закипела

при - конденсация, микровакуум

струйка Ж бьет в обл-ть вакуума

Рабочая точка ц/б насоса

Геометрическая высота всасывания

- движущая сила подъёма жидкости на высоту Она расходуется: - на подъём жидкости на высоту - на преодоление гидравлического сопротивления всасыв. т/п () - на преодоление инерционных потерь () таким образом =++, откуда --

- определяется (лимитируется) условиями гидравлического удара

=? Сила инерции массы жидкости во всасывающем т/п

На преодоление этой силы тратится часть силы давления:

тогда

Представим это через:

Напишем уравнение неразрывности: или

, где

таким образом,

поэтому

В итоге

Сравним и

>>

Дать объяснение воздушному колпаку

Без воздушного колпака

возможно, что !

С воздушным колпаком

Рабочая точка поршневого насоса

Центробежные насосы

Вывод основного уравнения ц/б насоса

W – относительная скорость u – окружная скорость с – абсолютная скорость Сумма количества движения равна моменту равнодействующих сил ,

Но ;

; и тогда

Основное уравнение ц/б насоса

Конструктивно делают “безударный” выход, т.е.

и

Производительность ц/б насоса

Зависимость напора H от производительности

Из : , но из : или тогда:

, но

Анализ уравнения

При :

Выбор профиля лопаток рабочего колеса

25% потенциальная энергия 75% кинетическая энергия		25% кинетическая энергия 75% потенциальная энергия

мало из-зи

Действительная зависимость

Явление кавитации

Поэтому ,

Где

Частные и общая характеристики ц/б насоса

- частные характеристики

Рабочая точка центробежного насоса

Гидравлика дисперсных систем Осаждение ( витание)одиночных частиц Осаждение представляет собой процесс разделения фаз под действием силы тяжести, сил инерции или электростатических сил. Рассмотрим силы, действующие на одиночную частицу в сплошной среде (плотность и вязкость). ,d A Rг p миделево сечение G Частица движется равномерно и прямолинейно под действием силы тяжести G На частицу действует выталкивающая архимедова сила А и ее движению препятствует сила гидравлического сопротивления Баланс сил: G=А + G= ; А=; =рF=р; hп=;=; =+;=- =\; =; Ar= Re основное критериальное уравнение процессов осаждения. Коэффициент сопротивления определяется в зависимости от режима осаждения. Lg турбулентный Ламинарный Lg Re 2 500(800) Ламинарный режим Re 2, тогда= 24/Re Турбулентный режим Re 500(800)= 0,44 Переходный режим =10,5/ Определение скорости падения частицы Ламинарный режим = 24/ Re ; Ar= Re; Ar =18 Re ; = 18; =формула Стокса. Формула применима для ламинарного режима в условиях не стесненного осаждения (концентрация твердой фазы не превышает 5% объемных).

Осаждение в поле сил тяжести (отстаивание)

Отстойник периодического действия

_к-концентрация твердой фазы

Составляем материальный баланс по твердой фазе:

,

причем

;

; ,

откуда

=

Но ,

где - скорость стесненного осаждения;

Производительность отстойника

V_отс()=

Производительность отстойника зависит от F, но не от высоты

Отстойник полунепрерывного действия

Пути иН частицы должны проходить за одно и то же время, поэтому

, откуда

-производительность отстойника; -объем отстойника

=

V_отс=b)

Некоторые конструкции отстойников непрерывного действия

колонный отстойник полочный отстойник