![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Визначений інтеграл та його застосування.
- •1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.
- •2. Означення та умови існування визначеного інтеграла.
- •Приклади обчислення визначеного інтеграла. За означенням.
- •4. Властивості визначеного інтеграла.
- •5. Інтеграл зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона–Лейбніца.
- •6. Приклади використання формули Ньютона–Лейбніца.
- •7. Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.
- •Невласні інтеграли I роду.
- •9. Невласні інтеграли II роду.
- •Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність.
- •14. Обчислення площ плоских фігур.
- •15. Обчислення довжин дуг кривих ліній.
- •16. Обчислення об’ємів тіл.
- •17. Обчислення площ поверхонь тіл обертання.
- •18. Фізичні застосування визначеного інтеграла.
- •19. Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Рекомендована література. Базова.
- •Допоміжна
15. Обчислення довжин дуг кривих ліній.
Нехай
задано дугу
графіка функції
,
яку будемо вважати
неперервною
та неперервно диференційовною на
відрізку
(рис. 15)
Рис. 15.
Розіб’ємо
відрізок
довільно обраними точками ділення на
частинні :
.
Відмітимо
на графіку функції точки
з абсцисами відповідно
.
З’єднаємо їх відрізками прямих ліній.
Дістанемо ламану лінію
,
яку вписано в дугу
.
Позначимо периметр цієї ламаної через
.
Означення.
Якщо існує і не залежить від способу
вписування ламаної скінченна границя
периметра цієї ламаної, коли найбільший
її відрізок прямує до нуля, то крива
називаєтьсяспрямною,
а величина цієї границі називається
довжиною дуги і позначається
.
(15.1)
Позначимо
,
,
– довжину відрізка
.
Очевидно, що
.
За
теоремою Лагранжа на інтервалі
існує точка
така, що
.
Тоді
,
.
Це
є інтегральна сума для функції
.
Оскільки
неперервна, функція
також неперервна, і тоді існує границя
(15.1):
.
Отже дістали формулу:
.
(15.2)
Приклад
1.
Обчислити довжину дуги напівкубічної
параболи
на відрізку
(рис. 16).
Рис. 16.
Маємо:
.
Отже
.
Приклад
2.
Обчислити довжину графіка функції
на відрізку
.
Маємо:
.
Отже
.
Якщо
криву
задано параметрично:
, де
– неперервно диференційовні на проміжку
функції, то:
.
(15.3)
Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди, яка має параметричні рівняння:
.
Циклоїда
– це лінія, яку описує точка на колі
радіуса
,
яке котиться вздовж прямої лінії. У
якості параметра
виступає кут поворота кола (рис. 17).
Рис. 17.
За формулою (15.3) маємо:
.
Якщо
криву задано у полярній системі координат
,
де
– неперервно диференційовна на
функція, то можна довести, що
.
(15.4)
Приклад.
Обчислити довжину дуги логарифмічної
спіралі
за умовою
(рис. 18).
Рис. 18.
Внаслідок
того, що
,
дістаємо:
,
отже за формулою (15.4) матимемо:
через
те, що
.
Зауважимо, що інтеграл, який тут виникає
– невласний 1-го роду.
16. Обчислення об’ємів тіл.
Розглянемо
деяке тіло
(рис.
19). Позначимо через
площу перерізу цього тіла площиною, яка
проходить перпендикулярно деякій осі
через точку з координатою
на цій осі
.
Розіб’ємо
відрізок
на частинні відрізки точками:
Рис. 19.
і
проведемо через ці точки площини,
перпендикулярні відрізку
.
На кожному з частинних відрізків
оберемо довільну точку
.
Площини розбивають наше тіло
на елементарні циліндри
.
Площа основи циліндра
дорівнює
,
а висота
.
Сумарний об’єм
всіх циліндрів:
.
Границя
цієї суми при
(якщо вона існує) називається об’ємом
даного тіла. Очевидно, що
– це інтегральна сума для функції
,
отже об’єм
тіла
:
.
Таким чином доведено формулу:
.
(16.1)
Розглянемо,
зокрема, об’єм
тіла, яке утворено обертанням фігури,
обмеженої графіком функції
,
відрізком
осі
та прямими
та
, навколо осі
(рис. 20).
Рис. 20.
Тоді
площа перерізу
,
і згідно з формулою (16.1):
.
(16.2)
Якщо
така ж сама фігура обертається навколо
осі
,
то можна довести, що об’єм
утвореного тіла дорівнює:
.
(16.3)
Нехай
тепер рівняння лінії, що обмежує нашу
фігуру, задано у параметричній формі:
,
,
,
причому функція
припускається неперервно диференційовною,
а функція
– неперервною на відрізку
.
Тоді, якщо фігура обертається навколо
осі
,
то об’єм утвореного тіла дорівнює:
.
(16.4)
Якщо
та ж сама фігура обертається навколо
осі
,
то об’єм утвореного тіла дорівнює:
.
(16.5)
Нарешті
розглянемо у полярній системі координат
фігуру, яку обмежено променями
,
(
)
та графіком функції
.
Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням
цієї фігури навколо полярної осі,
дорівнює:
.
(16.6)
Приклади.
1. Знайти об’єм еліпсоїда
.
У
перерізі еліпсоїда площиною, паралельною
площині
на відстані
від
неї утворюється еліпс:
,
або:
.
Півосі
цього еліпса
,
і його площа дорівнює (див. приклад після
формули (14.2)):
.
Тому за формулою (16.1) маємо:
(перевірте
самостійно). Зокрема, якщо
,
дістаємо формулу об’єму кулі:
.
2.
Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням
графіка функції
навколо відрізка
осі
.
За формулою (16.2) маємо:
.
3.
Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням
фігури, обмеженої графіком функції
,
відрізком
осі
,
та прямими
,
:
а) навколо осі
;
б) навколо осі
.
Об’єм
тіла, утвореного обертанням даної фігури
навколо осі
,
знайдемо за формулою (16.2):
.
Об’єм
тіла, утвореного обертанням тієї ж
фігури навколо осі
,
знайдемо за формулою (16.3):
.
4.
Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням
фігури, обмеженої аркою циклоїди
,
,
навколо: а) осі
;
б) осі
.
Об’єм
тіла, утвореного обертанням навколо
осі
,
знайдемо за формулою (16.4):
.
Об’єм
тіла, утвореного обертанням навколо
осі
,
знайдемо за формулою (16.5):
(обчислення
інтегралів перевірте самостійно).
5.
Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням
фігури, обмеженої кардіоїдою
,
,
навколо полярної осі.
Внаслідок
симетрії кардіоїди відносно полярної
осі (рис. 14), тіло, яке утворено обертанням
всієї кардіоїди навколо полярної осі,
співпаде з тілом, яке утворено обертанням
тільки верхньої половини кардіоїди,
яка відповідає зміні кута
від
до
.
Тоді, користуючись формулою (16.6),
дістанемо:
.