![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Визначений інтеграл та його застосування.
- •1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.
- •2. Означення та умови існування визначеного інтеграла.
- •Приклади обчислення визначеного інтеграла. За означенням.
- •4. Властивості визначеного інтеграла.
- •5. Інтеграл зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона–Лейбніца.
- •6. Приклади використання формули Ньютона–Лейбніца.
- •7. Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.
- •Невласні інтеграли I роду.
- •9. Невласні інтеграли II роду.
- •Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність.
- •14. Обчислення площ плоских фігур.
- •15. Обчислення довжин дуг кривих ліній.
- •16. Обчислення об’ємів тіл.
- •17. Обчислення площ поверхонь тіл обертання.
- •18. Фізичні застосування визначеного інтеграла.
- •19. Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Рекомендована література. Базова.
- •Допоміжна
Приклади обчислення визначеного інтеграла. За означенням.
Наведемо приклади обчислення визначеного інтеграла, як кажуть, за означенням, тобто як границі інтегральних сум.
Приклад 1. Обчислити:
.
Розіб’ємо
відрізок
довільним
чином на частинні відрізки і складемо
інтегральну суму:
.
Незалежно
від обрання точок
буде виконано:
,
тому:
.
І отже:
.
Приклад 2. Обчислити:
.
Оскільки
функція
неперервна на всій числовій прямій,
вона інтегровна на відрізку
.
Розіб’ємо
відрізок
на
рівних частинних відрізків точками
ділення
,
де
.
Очевидно, що
,
,
.
За точки
візьмемо
.
Складемо інтегральну суму:
.
Тут ми скористалися формулою:
.
Тоді
.
Отже
.
Приклад 3. Обчислити:
.
Оскільки
функція
неперервна на всій числовій прямій,
вона інтегровна на відрізку
.
Розіб’ємо
відрізок
на
рівних частинних відрізків точками
ділення
,
де
.
Очевидно, що
,
,
.
Таким чином у даному випадку умова
(або
)
еквівалентна умові
.
За точки
візьмемо
.
Складемо інтегральну суму:
.
Тут скористалися формулами:
,
,
.
З
урахуванням рівності
тепер маємо:
.
Звідси
.
Отже
.
Вже
ці приклади показують, що обчислення
інтегралів за означенням досить складна
задача, навіть для відносно простих
функцій. Тому таким методом користуються
рідко. Нижче ми наведемо формулу, за
якою інтеграл обчислюється набагато
простіше. Щоправда, ця формула виводиться
у припущенні, що функція
неперервна на відрізку
.
4. Властивості визначеного інтеграла.
Тут ми сформулюємо деякі важливі властивості визначеного інтеграла, які нам будуть потрібні у подальшому.
1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування.
.
2. Якщо верхня межа інтегрування співпадає з нижньою, то інтеграл дорівнює нулю.
.
3. Від переставлення місцями меж інтегрування отримується інтеграл, який дорівнює даному з протилежним знаком.
.
4.
Якщо функція
інтегровна
на максимальному з відрізків
,
,то
справедлива рівність:
.
(4.1)
Доведення.
Припустимо
спочатку, що
.
Розіб’ємо
відрізок
на
частинні так, щоб точка
була точкою розбиття, наприклад
.
Тоді
.
Цей факт добре ілюструється геометрично (рис. 4).
Рис. 4.
.
Формула
(4.1) зберігає справедливість і у випадку,
коли
.
Припустимо, наприклад що
.
Тоді згідно за попереднім:
.
На підставі властивості 3 маємо:
,
і тоді:
,
а
звідси і випливає формула (4.1). Випадок
розглядається аналогічно.
5. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:
.
6.
Якщо функції
та
інтегровні на відрізку
,
то функції
,
також інтегровні на відрізку
,
причому:
.
7.
Якщо функції
та
інтегровні на відрізку
,
то функція
також інтегровна на відрізку
.
8.
Якщо
,
то
.
9.
Якщо
,
то
.
10.
Якщо функція
інтегровна на
,
то функція
також інтегровна на відрізку
,
причому:
.
11.
Якщо
,
то
.
Дійсно
.
12.
Теорема
(про
середнє значення функції).
Нехай
функція
неперервна на відрізку
,
а
функція
інтегровна на відрізку
,
і на відрізку
зберігає свій знак, тобто
при
,
або
при
.
Тоді на відрізку
існує
точка
така, що виконуватиметься рівність:
.
Доведення.
Нехай для визначеності
при
.
Оскільки функція
неперервна на відрізку
,
то згідно з 2-ю теоремою Вейєрштрасса
ця функція досягає на цьому відрізку
свого найменшого та найбільшого значень
.
Тоді:
.
Внаслідок
неперервності функції
на відрізку
вона на цьому відрізку інтегровна, а,
оскільки функція
на відрізку
також інтегровна, то інтегровною на
буде й функція
.
А тоді
.
(4.2)
Якщо
,
то з (4.2) випливає, що
,
і тоді твердження теореми доведено.
Нехай
,
тоді
,
оскільки
.
Тому:
,
де
.
Внаслідок
неперервності функції
на відрізку
на підставі 2-ї теореми Больцано–Коші
на відрізку
існує точка
така, що
,
тобто
,
звідки й випливає твердження теореми.
Наслідок.
Якщо, зокрема
на
,
то для неперервної на
функції
існує
таке, що:
,
оскільки
(див. п.3).
Величина
називаєтьсясереднім
значенням функції
на відрізку
.
Теорема про середнє значення та наслідок з неї дає можливість оцінювати величини інтегралів без їх безпосереднього обчислювання.
Приклад. Оцінити величину інтеграла:
.
Покладемо
в теоремі про середнє значення
,
.
Тоді
:
(тут
скористалися рівністю
– див. п.3).