4.5.2 Динамические погрешности

СИТ могут эксплуатироваться не только в статическом режиме, когда измеряемая величина постоянная, но и в динамическом, когда измеряемая величина изменяется во времени. В последнем случае могут возникать следующие составляющие динамические погрешности: погрешность измерительного преобразования(обусловленная инерционными свойствами СИТ) ипогрешность измерения с регистрацией(обусловленная дискретизацией изменяющейся величины во времени). Эти составляющие могут сопутствовать друг другу, однако и в этом случае их вклад в суммарную погрешность можно рассматривать отдельно.

Погрешность измерительного преобразования.

При измерительном преобразовании источником динамической погрешности является инерционность измерительного преобразователя. Значение динамической погрешности в этом случае будет зависеть не только от ДХ ИП, но и от формы входного сигнала. Оценка этой составляющей погрешности весьма сложна, поэтому ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда ИП моделируется апериодическим звеном первого порядка. В этом случае дифференциальное уравнение ИП имеет вид

, (4.36)

где - выходной и входной сигналы ИП;

- постоянная времени;

- статический коэффициент преобразования.

Погрешность измерения , приведенная к максимальному значению входного сигналабудет равна

. (4.37)

Так как скорость изменения выходного сигнала линейного инерционного ИП не может быть больше скорости изменения его входного сигнала, то максимальное значение можно найти из выражения

. (4.38)

Для сигналов с финитным спектром известно неравенство Бернштейна, связывающее граничную частоту спектра с любой из его нормированных производных

. (4.39)

Для n= 1

. (4.40)

Отсюда можно получить допустимую инерционность ИП при измерительном преобразовании сигнала

. (4.41)

Так, для сигнала с граничной частотой спектра f_гр=1 кГц и допустимой погрешностью_max = 1% постоянная времени не должна превышать 10^–5с.

Динамическая погрешность измерения с регистрацией измеряемой величины во времени.

Измерение с регистрацией изменений величины во времени наиболее характерная задача динамических измерений, при решении которой осуществляются совместные измерения интересующей величины и времени. Наиболее часто эту задачу решают путем дискретизации измеряемой величины во времени с последующим восстановлением промежуточных значений с помощью различных интерполяционных функций (рис. 4.10).

В этом случае погрешность измерения имеет три составляющих

. (4.42)

Здесь x_ип -инструментальная погрешность непосредственного измерения значенияx(t) в точкеt (имеет статическую и динамическую составляющую);

x_м - погрешность масштабирования появляющаяся из-за неточного измерения времениt ;

x_и – погрешность интерполяции, причиной которой является неточность восстановленияx(t) по дискретным значениям.

Измеряемую величину представим в виде

x(t)=x f(t) (4.43)

где x - значениеx(t) в точкеt;

f(t) - нормированная в точкеt функция измеряемой величины.

Дифференцируя (4.43) по уровню и времени, получаем

где - инструментальная относительная погрешность измерения;

- относительная погрешность масштабирования.

Последнюю составляющую можно представить в виде

(4.44)

где - относительная погрешность измерения времени.

Из (4.44) видно, что погрешность масштабирования пропорциональна времени измерения, т.е. способна накапливаться во времени.

Для восстановления x(t)наиболее часто используютполином Лагранжав общем случае степениn. В этом случае оценкаизмеряемой величиныx(t)имеет вид

(4.45)

где t – заданная временная координата на интервале интерполяции (t₀;t_n);

x_j ,t_j – координаты узлов интерполяции.

Оценка отличается отна величину методической погрешности интерполяции, значение которой определяется остаточным членом полинома

(4.46)

где --я производная измеряемой величины в некоторой точкеинтервала интерполяции. При малых погрешностях интерполяции можно считать, чтово всем интервале.

Наиболее часто используют ступенчатую (n=0) и линейную (n=1) интерполяции.

В случае ступенчатой интерполяции(приn=0) , где- временная точка дискретизации, предшествующаяt, а погрешность интерполяции

(4.47)

Для линейной интерполяции(приn=1)

;

.

Определим максимальное значение

Отсюда

Для равномерной дискретизации

(4.48)

где - интервал дискретизации.