§ 7. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи
Величина, яка характеризує рух тіла, називається кінетичною енергією. Ця скалярна величина завжди додатна, залежить тільки від стану механічної системи, і може бути знайдена за наступними правилами.
1.
Якщо тверде тіло здійснює поступальний
рух,
то швидкості
всіх його точок однакові і його кінетична
енергія
визначається як половина добутку маси
тіла
на квадрат швидкості
=
. (7.1)
2.
Якщо тверде тіло обертається навколо
нерухомої осі (наприклад,
)
з кутовою швидкістю
,
то його кінетична енергія
дорівнює половині добутку
моменту інерції тіла відносно осі
обертання
на квадрат кутової швидкості
. (7.2)
3.
Якщо тверде тіло здійснює
плоский рух, то такий рух можна розглядати
як суперпозицію двох простих рухів –
поступального руху центра мас зі
швидкістю
та обертального руху з кутовою швидкістю
навколо осі, що проходить через центр
мас перпендикулярно площині руху. Тоді
його кінетична енергія
визначається як
+
. (7.3)
7. Якщо механічна система складається з декількох тіл, то її кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл, що входять в систему, тобто
. (7.4)
Нагадаємо, що розмірністю кінетичної енергії в системі SI є 1 Дж = 1 Н·м.
Робота
є фізична величина яка характеризує
міру передачі руху від одного тіла до
іншого.
Ця
фізична величина теж має розмірність
джоуль, але її величина залежить від
процесу передачі руху, і може бути як
додатною, так і від’ємною. Елементарна
робота
сили
при елементарному переміщенні матеріальної
точки на
визначається за правилами скалярного
добутку як
=
·
=
, (7.5)
де
– кут між векторами
та
.
Отже, ця величина
– додатна, якщо кут між напрямом сили та переміщенням гострий;
– дорівнює нулю, якщо цей кут прямий;
– від’ємна, якщо цей кут тупий.
Робота
сили
при переміщенні
матеріальної точки від точки
до
точки
визначається інтегралом
=
. (7.6)
Розглянемо роботу конкретних сил, які можуть діяти в механічній системі.
1.
Робота
сил однорідного поля тяжіння
виконується
силами тяжіння при переміщенні тіла
(матеріальної точки) масою
з початкового в кінцеве положення. Ця
робота не залежить від форми траєкторії,
і визначається лише різницею кінцевого
та
початкового
положень тіла вздовж вертикалі. Наприклад,
при переміщенні тіла з положення 1 в
положення 2 (догори) по довільній
траєкторії (рис. 7.1), робота сил тяжіння
визначається як
,
(7.7)
і
буде від’ємною оскільки
>
.
В таких випадках говорять про виконання
роботи проти сил тяжіння. Навпаки, при
переміщенні тіла з положення 2 в положення
1 (вниз) робота сил тяжіння буде додатною
>
0,
(7.8)
і говорять про те, що така робота виконана силами тяжіння.
2.
Робота
сили
пружності
при розтягуванні (стискуванні) пружини
жорсткістю
від початкового
положення
до кінцевого
положення
визна-чається
як
, (7.9)
де
– довжина недеформованої пружини, і
також не залежить від траєкторії точки,
а залежить лише від початкового
та кінцевого
положень.
3.
Робота
сил при повороті тіла
на кінцевий кут при обертанні навколо
нерухомої осі (наприклад,
)
визначається рівнянням
, (7.10)
де
– момент зовнішньої сили відносно
нерухомої осі, а
– кут, на який повернулося тіло.
7.
Робота
сил тертя ковзання.
Оскільки сила тертя завжди напрямлена
в бік, протилежний відносній швидкості
(проти переміщення), то робота сила тертя
визначиться взятому зі знаком мінус
добутку модуля сили тертя
=
(
– коефіцієнт тертя ковзання,
– реакція опори) на довжину траєкторії
. (7.11)
5.
Робота сил тертя кочення.
Якщо
тіло котиться без ковзання по поверхні
іншого нерухомого тіла, сила тертя
кочення створює момент
=
і для роботи сили тертя кочення отримуємо
, (7.12)
де
–
– коефіцієнт тертя кочення,
– кут, на який повернулося тіло.
Зауважимо,
що на відміну від кінетичної енергії
системи, яка є функцією стану системи,
робота є функцією процесу, які мають
місце в системі,
Одначе, між
цими величинами існує певний зв’язок.
Якщо
в процесі руху механічна система перейшла
з одного стану, який вона мала в момент
часу
=
0, в інший, що відповідає моменту часу
,
то зміна
кінетичної енергії визначається
роботою сил, які прикладені до системи
, (7.13)
де
та
– кінетична енергія механічної системи
в кінцевому та початковому станах, а
– повна робота, яку здійснюють при цьому
переміщенні всі прикладені до системи
внутрішні (
)
та зовнішні (
)
сили.
Рівняння (7.13) є записом теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії механічної системи за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт внутрішніх та зовнішніх сил, які діють на елементи системи протягом даного проміжку часу.
Відмітимо,
що у випадку, коли матеріальна система
складається з абсолютно
твердих тіл
(тобто коли можна нехтувати деформаціями
в цій системі), то під дією внутрішніх
сил не відбувається зміщень частинок
системи, тому
сума робіт всіх внутрішніх сил абсолютно
твердого тіла при любому його переміщенні
дорівнює нулю
(
)
і теорема
про зміну кінетичної енергії набуває
вигляду
. (7.14)