Контрольні запитання

1. Що таке механічна система? Наведіть приклад.

2. Які сили називають внутрішніми силами? Вкажіть їхні основні властивості.

3. Які сили називають зовнішніми силами?

4. Як визначається положення центра мас механічної системи?

5. Сформулюйте теорему про рух центра мас механічної системи.

6. При яких умовах центр мас системи знаходиться в стані спокою?

7. Чи можуть внутрішні сили змінити положення центра мас механічної системи?

§ 5. Теорема про зміну та збереження імпульсу механічної системи

Імпульсом механічної системи називається вектор , який дорівнює сумі імпульсів точок, що входять до системи

. (5.1)

Теореми про зміну імпульсу механічної системи в диференціальній формі стверджує: похідна за часом від вектора імпульсу системи матеріальних точок дорівнює головному вектору зовнішніх сил, які діють на систему

. (5.2)

Отримане векторне рівняння еквівалентне трьом скалярним:

,,. (5.3)

З наведеної теореми випливають наступні наслідки:

а) внутрішні сили не змінюють імпульсу механічної системи;

б) якщо головний вектор зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю , то вектор імпульсу механічної системи залишається сталим за величиною та напрямом

=, (5.4)

де - початкове значення імпульсу системи. Формула (5.4) є математичним записомзакону збереження імпульсу механічної системи;

в) якщо проекція головного вектора всіх зовнішніх сил на деяку нерухому вісь, наприклад, вісь , дорівнює нулю, то проекція імпульсумеханічної системи на цю вісь залишається сталою

, (5.5)

де - початкове значення проекції імпульсу.

Якщо головний вектор зовнішніх сил не дорівнює нулю (), тозміна імпульсу механічної системи за проміжок часу від додорівнює імпульсу головного вектора зовнішніх сил, які прикладені до точок системи, за той самий проміжок часу

, (5.6)

де - імпульс механічної системи в момент часута- в момент часу. Підінтегральній вираз- називається елементарним імпульсом зовнішніх сил. Формула (5.6) є математичним записом теореми про зміну імпульсу механічної системив інтегральній формі.

Зауважимо, що закон про зміну імпульсу механічної системи отриманий на основі законів Ньютона, які виконуються в інерціальній системі відліку. У випадку складного руху окремих частин системи, потрібно під швидкістю руху цієї частини розуміти абсолютну швидкість, яка визначається сумою переносної та відносної швидкостей

. (5.7)

Контрольні запитання

1. Чому дорівнює імпульс тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр маси?

2. Сформулюйте теорему про зміну імпульсу механічної системи у диференціальній формі.

3. Сформулюйте теорему про зміну імпульсу механічної системи у інтегральній формі.

4. У яких випадках імпульс механічної системи залишається сталим?

5. У яких випадках проекція на вісь імпульсу механічної системи не змінюється?

§ 6.. Теорема про зміну та збереження моменту імпульсу механічної системи

Вектор імпульсу (кількості руху) матеріальної системи характеризує її поступальний рух. Обертальний рух матеріальної системи характеризується іншим вектором - моментом імпульсу (кінетичним моментом). Для окремої матеріальної точки масою момент імпульсу відносно довільної точки простору визначається виразом

, (6.1)

де - радіус-вектор проведений з точки до матеріальної точки, - її імпульс. Вектор залежить від імпульсу та положення матеріальної точки відносно точки та характеризує її „обертальний” рух навколо точки в даний момент часу.

Векторний добуток можна обчислити за допомогою матриці

= , (6.2)

де , , та , , - проекції радіус-вектора та швидкості точки на відповідні вісі. Таким чином, момент імпульсу матеріальної точки може бути знайдений за формулою

= =

= . (6.3)

Проекції ,,вектора моменту імпульсу на декартові вісі,таназиваютьмоментом імпульсу матеріальної точкивідносно осі.

Модуль і напрям вектора моменту імпульсу визначається за правилами векторного добутку. На рис. 6.1, зображена площина, в якій лежать векторита. Напрям моменту імпульсурухомої матеріальної точкивідносно точкиспрямований від нас перпендикулярно до площини рисунку, а його модуль можна знайти за формулою

. (6.4)

тут – кут між векторами і, а– відстань від точкидо лінії вздовж якої спрямована швидкість матеріальної точки.

Замість вектора моменту імпульсу матеріальної точки, часто користуються його алгебраїчним значенням, яке визначається за такими ж самими правилами, що і для визначення моменту сили відносно точки (дивись розділ 1, §1.5). Тоді для точки отримуємо

, (6.5)

а для точки (рис. 6.1)

. (6.6)

Зауважимо: 1) у випадку прямолінійного рівномірного руху точки, її кінетичний момент відносно заданої точки простору залишається незмінним;

2) момент імпульсу матеріальної точки дорівнює нулю, якщо лінія вздовж якої спрямований вектор імпульсу проходить через цю точку.

Момент імпульсу механічної системи є векторною сумою моментів імпульсів (кінетичних моментів) її елементів

. (6.7)

Якщо тверде тіло обертається навколо фіксованої осі, то для знаходження моменту імпульсу, тіло розглядають як сукупність матеріальних точок масами , що знаходяться на незмінних відстаняхвід осі обертання і обертаються з однаковою для всіх точок кутовою швидкістю. Тоді момент імпульсу відносно осі обертання(дивись рис. 6.2) можна обчислити як суму моментів імпульсу елементів тіла відносно неї

, (6.8)

що у випадку неперервного розподілу маси дає

, (6.9)

де – символ відповідної осі обертання. Сума добутків мас елементів на квадрат їхньої відстані до осі обертаннячи відповідний інтеграл по об’єму тіланазиваєтьсямоментом інерції тіла відносно заданої осі

(6.10)

Ця фізична величина характеризує інертність тіла при обертанні навколо заданої осі, залежить від розподілу маси в тілі, положення осі обертання і вимірюється в кг·м².Моменти інерції більшості однорідних тіл правильної форми відносно їх центру мас відомі.