6. Метод інтегрування частинами

Цей метод грунтується на спосіб диференціювання добутка двох функцій. Нагадаємо цей спосіб. Скажемо, в нас є дві функції U(x) i V(x). Ми знаємо, що похідна від добутка цих функцій дорівнює .

Якщо взяти інтеграи від обох частин цього равенства, то будемо мати

З цього і береться формула інтегрування частинами, а саме

Зразу слід зазначити, що вибір U i V, тобто яку частину підінтегральної функції взяти за U, а яку за dV дуже важливий. Саме від цього залежить успіх вирішення інтеграла.

Треба розуміти, що функцію U(x) прийдеться диференціювати, а dV(x) інтегрувати. І якщо наслідком цих дій буде спрощення інтегралу і можливість його вирішення, то обрано вірний шлях. А якщо ні, то треба міняти вибір, чи взагалі застосовувати інший метод.

Розяснемо на прикладах як це робиться.

Приклад 1.

Оберемо в якості U незалежну перемінну х, а за dV візьмемо . Такий вибір обумовлен тим, що х при диференціюванні дає одиницю, а cosxdx при інтегруванні перетворюється в sinx. Далі інтеграл легко вирішується

Приклад 2

Тут знову маємо на увазі, що х перетворюється в одиницю, а – в саму себе.

Приклад 3.

В цьому прикладі вибір U i dV робиться з урахуванням, що інтегрувати lnx досить складно ( це ми далі побачимо), а диференціювання

Приклад 4

Такий вибір U i dV обумовлен спрощенням інтеграла, але метод інтегрування частинами нам прийдеться застосувати ще раз

До отриманого інтеграла знову застосовуємо метод інтегрування частинами

Остаточно маємо рішення заданого інтеграла

Приклад 5

Такий вибір U i dV обумовлен тим, що інтеграл можна спростити і вирішити, а саме

Ми бачимо, що застосування метода інтегрування частинами( як і інших методів) потребує розуміння і попереднього аналізу.

Окремо ми далі розглянемо інтегрування тригонометричних функцій. Трошки пізніше буде зрозуміло, чому саме так.

7. Інтегрування тригонометричних функцій

Нам вже відомо рішення інтегралів від тригонометричних функцій, які ми ввели як табличні. До них можні додати ще декілька інтегрлів від тригонометричних функцій, рішення яких ми будемо шукати відомими нам методами. А потім, проаналізувавши ці рішення, покажемо можливості так званої "універсальної підстановки".

Отже візьмемо тригонометричні функції, наприклад, в квадраті, в кубі і тому подібне.

1.

В цьому рішенні ми користувалися відомими з шкільного курса математики тригонметричними перетвореннями. Аналогічно вирішимо

2.

3.

Подібне рішення буде і для наступного інтеграла

4.

5.

В рішенні цього інтеграла ми застосували вже інші перетворення і звели його до інтеграла від степеневої функції. Аналогічно зробимо і для наступного інтеграл

6.

Для двох наступних інтегралів рішення трошки відрізняється від цих двох.

7.

8.

Ми бачимо, що зростання степені тригонометричної функції значно ускладнює рішення. Для четвертої степені вже буде суттєво складніше, особливо для тангенса та котангенса.

А ось, наприклад, інтеграл такими методами, якими ми щойно скористалися, взагалі вирішити буде великою проблемою. Але можна знайти таку підстановку, при якій значно спроститься рішення. Давайте спробуємо підтановку tgx=t

Далі можна звести цю неправильну дроб до правильної

Ми переконалися, що така підстановка дає дуже суттєве спрощення. Іншим шляхом вирішити такий інтеграл важко, або взагалі неможливо. Але додуматися до такої підстановки не просто.

А тепер ми розглянемо одну підстановку, яка вважається "універсальною" для вирішення багатьох інтегралів від тригонометричних функцій.

Універсальна тригонометрична підстановка.

Під такою "універсальною" підстановкою розуміється , бо вона дозволяє вирішувати досить широке коло інтегралів від тригонометричних функцій. Справа в тому, що ця підстановка перетворює тригонометричні функції в алгебричні, які легше розв'язуються.

Спочатку розберемося, яким чином при такій підстановці виглядають сам тригонометричні функції . Диференціюємо останнє равенство . Далі диференціюємо саме цю підстановку

Далі розглянемо на прикладах застосування цієї підставки.

Приклад 1

Ми отримали замість тригонометричної функції під знаком інтеграла алгебричний вираз. А далі застосовуємо метод виділення повного квадрата

Це вже табличний інтегралі тоді маємо

Приклад 2

Приклад 3

Слід зазначити, що цей інтеграл можні вирішувати трошки інакше а саме , а далі так саме, бо результат однаковий.

Розглянувши основні методи інтегрування можна перейти до загальних висновків.