3. Метод виділення цілої частини

Цей метод передбачає додавання( і одночасно віднімання) до чисельника підінтегральної функції такого виразу, що при наступному почленному діленні з’явилася ціла частина

Покажемо як це робиться на прикладах. Першим прикладом розберемо табличний інтеграл №14, який ми фактично вирішили цим методом

Приклад 1 ∫=∫= домножимо чисельник та знаменник на 2a =∫dx= потім до чисельника додаємо x і віднімемо x а далі поділимо почленно =∫dx=∫dx=∫dx-

-∫dx=∫-∫=ln|x-a|-ln|x+a|+c=ln||+c. Ми отримали потрібний нам результат.

Приклад 2 ∫dx= |додамо і віднімемо і|=∫dx=|ділення почнемо|=∫dx+2∫=∫dx+2∫=x+2*ln||+c=x+ln||+c

Приклад 3 ∫=|додамо х і віднімемо х|=∫dx=∫dx-∫dx=

=∫-∫=ln|x|-ln|x+1|+c=ln||+c

Приклад 4 ∫= Додамо і віднімемо і поділимо почлено =∫dx=

=∫dx-∫dx=∫-∫=|Відносно другого інтеграла знову додаємо і віднімаємо |=∫-∫dx=∫dx-∫+∫=++arctgx+c=

=-++arctgx+c

4. Метод виділення повного квадрату.

Цей метод передбачає спрощення підінтегральної функції шляхом виділення повного квадрата там, де це можливо, для того щоб потім застосувати зміну перемінної. Покажемо це на прикладах

Приклад 1 ∫

В знаменнику спробуємо виділити повний квадрат наступним чином ∫=∫=∫=∫= Тепер ми можемо внести під знак диференціала -, бо де (x-)=dx; а дорівнює . Отже маємо ∫=∫= Якщо зробити заміну х-=t, dx=dt, то цей інтеграл табличний №14, де a=. Тому =ln|-|+c=ln||+c=ln||+c

Приклад 2 ∫=∫= виділяємо в знаменнику повний квадрат =∫=∫=|це вже ми отримали табличний інтеграл відповідно формулі №13. Тому маємо|=arctg+c

Приклад 3 ∫= Виділяємо в знаменнику повний квадрат для того, щоб звести його до табличної формули №12 =∫=∫=∫=∫= Останній вираз вже відповідає табличному інтегралу по формулі №12 і тому остаточно маємо: =arcsin+c.

5. Метод невизначених коефіцієнтів

Суть цього метода полягає в тому, що знаменник дробі підінтегральної функції представляємо як добуток множників і дорівнюємо заданий інтеграл сумі інтегралів, в яких у знаменниках стоять ті самі множники, а в чисельниках поки невідомі коефіцієнти. Дорівняємо підінтегральні функції з обох частин із цього равенства знаходимо невідомі коефіцієнти, а потім і самі інтеграли.

Розглянемо застосування цього метода на прикладах. І почнемо з приклада який ми вже розглядали іншим методом.

Приклад 1. ∫=∫= Тепер вводимо невідомі коефіцієнти A i B наступним чином =∫+∫. Така зміна передбачає равенство дробів =+=

Далі дорівнюємо чисельники O*x+1*=Ax+Aa+Bx-Ba=x(A+B)+(Aa-Ba) таке рівняння тільки в тому випадку, якщо коефіцієнти при х в однаковій степені зліва і справа дорівнює одне одному. Тобто А+В=0 В=-А

Аа-Вa=1 Aa+Aa=1 A=, B=-

Підставляємо значення знайдення коефіцієнтів ∫+∫=∫-∫=

=ln|x-a|-ln|x+a|+c=ln||+c

Ми отримали той самий результат тільки вже методом невизначених коефіцієнтів.

Приклад 2. ∫=∫+∫

Шукаємо коефіцієнти А і В так, як і в попередньому прикладі

-+=

Тепер дорівнюємо чисельники зліва і справа 1=2Ах-3А+Вх+В Дорівнюємо коефіцієнти зліва і справа при х в однаковій степені і отримуємо два рівняння

2А+В=0 В=-2А

-3А+В=1 -5А=1 A=-; B=

Підставляємо ці коефіцієнти в інтеграли ∫+∫=-∫+∫=

=-∫+∫=-ln|x+1|+ln|2x-3|=ln||+c

Приклад 3

Далі знову вводимо невизначені коефіцієнти

Дорівнюємо підінтегральні функції зліва і справа, та приводимо вираз справа до загального знаменника

Дорінюємо чисельники та знаходимо коефіцієнти А і В

Підставляємо значення А і В в інтеграли та знаходимо їх

Слід зазначити, що цей інтеграл можна звести до табличного №14, а саме

Останній вираз уявляє собою табличний інтеграл по формулі №14 і тому

Як ми бачимо, іноді існують навіть декілька способів одного й того ж інтеграла.

Далі ми перейдемо до одного з основних методів рішення невизначених інтегралів.