Основні методи інтегрування

Почнемо розглядати з метода заміни перемінної, який ми фактично вже застосували.

1. Метод заміни перемінної

Головна задумка цього методу - це підібрати нову перемінну таким чином, щоб спростити інтеграл чи зразу звести його до табличного.

В загальному вигляді це буде так:

∫f(x)dx=| вибираємо нову перемінну t=φ(x) чи відносно x=φ(t) диференціюємо φ’(t)dt і підставляємо =∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F(t)+c= |

Якщо за рахунок цього дійства є спрощення, то знаходимо первісну функцію і замість нової перемінної t підставляємо її значення.

=F[φ(x)]+c і це вже маємо рішення.

розберемо цей метод на прикладах. При цьому виділимо три випадки

1.1 Заміна лінійної функції

Приклад 1 ∫

Робимо заміну таким чином t=1-2x, a x=

Диференціюємо останнє dx=(-dt), a dt=-2d

Все це підставляємо в задані інтеграли

∫=-∫=| а це вже табличний інтеграл =-ln|t|+c=ln||+c=ln||+c

Приклад 2 ∫dx

Вибираємо заміну t=3-x, a x=3-t

Дані диференцюємо dx=-dt і підставляємо

∫dx=-∫=-∫dt=-+c=-t+c=-(3-x)+c

Приклад 3 ∫ Знову робимо заміну t=4x+3, a x=; диференціюємо dx=dt і підставляємо ∫=∫=ln|+c=ln||+c=ln||+c

Приклад 4 ∫dx. Робимо таку ж заміну t=-2x+7, a x=, диференцюємо dx=-dt і вже це підставляємо ∫=-∫dt= (а це вже таблічний інтеграл)=-+c=-+c

1.2. Заміна нелінійної функції

Приклад 1 ∫. Вибираємо заміну t=1-, чи =1-t і диференцюємо останнє рівенство 2xdt=-dt або xdx=-

все це підставляємо в заданий інтеграл

∫=-∫=-+c=-+c=-+c

приклад 2 ∫dx. Робимо заміну t= чи x= дифеенцюємо dx=2tdt і підставляємо ∫dx=∫dt=2∫dt=2+c=2+c

Приклад 3 ∫. робимо заміну 3-=t та диференцюємо це рівенство

-2xdx=dt, чи xdx=-dt Все це підставляємо ∫=-∫=-ln|t|+c=-ln||+c=ln||+c

Приклад 4 ∫dx

Робимо заміну t=3+5 і диференціюємо 15dx=dt, чи dx=dt. Підставляємо: ∫dx=∫dt=+c=+c.

1.3 Заміна функції шляхом перетворення під знаком диференціала.

Така заміна під знаком диференціала є різновидністю метода заміни перемінної. вона застосовується тоді, коли ця заміна очевидна. Покажемо це на прикладах:

Приклад 1 ∫cos(3x+2)dx

Щоб звести такий інтеграл до табличного, треба продиференціювати d(3x+2)=3dx, а dx=d(3x+2)

Тому ∫cos(3x+2)dx=∫cos(3x+2)d(3x+2)=sin(3x+2)+c

Приклад 2 ∫xdx

Для зведення цього інтеграла до табличного нам потрібно мати d(4x). Диференціюємо це d(4x)=4dx, а dx=d(4x). Тоді маємо ∫tg4xdx=∫tg4xd(4x)=

=+c.

2. Метод зведення неправильної дробі до правильної.

Суть цього метода ми почнемо розглядати після введення визначення правильної та неправильної дробі. В загальному вигляді раціонально дріб є відношенням многочленів

якщо n<k, то дроб правильна

а при n>k дроб неправильна.

Метод зведення підінтегральної функції від неправильної дробі до правильної дробі передбачає ділення многочлена-чисельника на многочлен-знаменник, якщо така дія спрощує рішення. Яким чином це робиться розглянемо на прикладах.

Приклад 1 ∫dx. Це неправильна дроб, бо 5>1. Зробимо ділення

ТУТ ПОВИННЕ БУТИ ДІЛЕННЯ В СТОВПЧИК

Заданий інтеграл таке ділення дозволяє звести до вигляду: ∫dx=

=∫(-+-x+1-)dx= який легко вирішується = ∫dx-∫dx+∫dx-

-∫xdx+∫dx-∫=-+-+x-ln|x+1|+c

Слід зазначити, що якщо результат такого ділення привести до загального знаменника, то ми отримуємо задану функцію в начальному вигляді

Приклад 2 ∫dx. Це теж неправильно дроб робимо ділення

ТУТ ПОВИННЕ БУТИ ДІЛЕННЯ В СТОВПЧИК

Спрощуємо заданий інтеграл і вирішуємо його: ∫dx=∫(+2x+6+)dx=∫dx+∫2xdx+∫6dx+∫dx=+ НІЧОГО НЕ ВИДНО

Приклад 3 ∫dx. Це теж неправильно дроб. Ділимо і вирішуємо цей інтеграл.

ТУТ ПОВИННЕ БУТИ ДІЛЕННЯ В СТОВПЧИК

Підставляємо результат ділення в заданий інтеграл та легко знаходимо його ∫dx=∫(-5x+6-)dx=∫dx-∫5xdx+∫6dx-∫dx=-5+6x-8ln|x+1|+c