Рекомендації до скорочення розрахунків:

1. Розв’язувальним елементом доцільно обирати одиницю, тоді формули (4) спрощуються.

2. Якщо у розв’язувальному стовпці є нулі, тоді відповідний рядок з цієї таблиці переписується в нову таблицю без змін.

3. Якщо в розв’язувальному рядку розрахункової таблиці є нулі, тоді відповідні стовпці переписують в нову таблицю без змін.

Наприклад, нехай в і-тому розв’язувальному рядку , тоді й стовпець таблиці переписуємо без змін.

4. Якщо в таблиці є 2 пропорційні рядки, тоді один з них можна закреслити.

Наступні кроки перетворення Гаусса-Жордана виконується таким же чином, при цьому кожного разу розв’язувальний елемент треба обирати з інших рядків та стовпців.

Після послідовного виконання декількох, наприклад r, кроків перетворення Гаусса-Жордана одержимо системі у вигляді таблиці 3, яку називають базисним виглядом.

Таблиця 3

x1	x2	…	хк	…	xr	xr+1	…	xn	b1	k
1 0 0 0 0	0 1 0 0 0	… … …	0 0 0 1 0	… … … … …	0 0 0 0 1	b1r+1 b2r+1 ... … brr+1		b1n b1n ... … brn	c1 c2 ... … cr	k1 k2 ... … kr

Можливі такі випадки:

1. r = n, тоді система має єдиний розв’язок х_к = с_к , k = 1,2,…,n;

2. r m < n, тоді система має множину розв’язків.

Загальним розв’язком буде:

(6)

Невідомі , відносно яких система розв’язана, називають базисними, а невідомі,, … ,називають вільними або небазисними.

Кожне базисне невідоме входить лише в одне рівняння системи з коефіцієнтом 1.

Якщо у загальному розв’язку (6) усі вільні невідомі прирівняти нулю, то одержимо базисний розв’язок системи

, ,…,,==…==0.

Якщо одну вільну невідому прирівняти одиниці, а інші – нулю, тоді одержимо фундаментальний розв’язок системи.

Базисний невід’ємний розв’язок системи називають опорним розв’язком цієї системи.

3. При перетворенні системи одержали рівняння, усі коефіцієнти дорівнюють нулю, а права частина с_j не дорівнює нулю.

В цьому випадку система несумісна.

Приклад. Розв’язати методом Гаусса-Жордана систему

(7)

Розв’язування. Будемо проводити з використанням розрахункової таблиці, формул (5) та рекомендацій до скорочення розрахунків.

Таблиця 4

x1	x2	x3	x4	x5	b1	k
1 3 0 5	1 2 1 4	1 1 1 2	1 1 2 3	1 -3 6 -1	7 -2 23 12	12 2 34 26
1 0 0 0	1 -1 1 -1	1 -2 2 -2	1 -2 2 2	1 -6 6 -6	7 -23 23 -23	12 -34 34 -34
1 0	0 1	-1 2	-1 2	-5 6	-16 23	-22 34

У другій таблиці четверте рівняння дорівнює другому, тому його викреслили. Друге рівняння пропорційне третьому, тому його також викреслили.

Із останньої таблиці видно, що система (7) сумісна і має множину розв’язків. Базисні невідомі та , вільні невідомі .

Загальний розв’язок системи (7) має вигляд

(8)

Базисним розв’язком цієї системи буде

Фундаментальних розв’язків система (7) має три: