Лекція 3. Векторна алгебра План

1. Вектори. Операції над ними.

2. Декартові прямокутні координати вектора. Довжина вектора.

3. Скалярний добуток векторів.

4. Векторний добуток двох

5. Мішаний добуток трьох векторів.

1. Вектори. Операції над ними.

Вектором називається спрямований відрізок. Вектор з початком в точці і кінцем у точці позначається символом (або однією буквою , , ...).

Модулем (довжиною) вектора називається довжина відрізка і позначається, , .

Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Одиничний вектор позначають .

Нульовим називається вектор, довжина якого дорівнює нулю. Нульовий вектор позначається .

Колінеарними називаються вектори і , якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих; записують .

Компланарними називаються три (і більше) вектора, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Рівними називаються два колінеарних вектори и (), якщо вони однаково спрямовані і мають рівні довжини.

Додавання векторів.

Сумою двох векторів і називається вектор , що з'єднує початок вектора з кінцем вектора , відкладеного від кінця вектора .

.

Добуток вектора на число.

Добутком вектора на число називається вектор, який має довжину і який має напрям вектора в разі та протилежний напрямок у разі .

Приклад .1. Дано вектори і . Побудуйте вектори: 1) 1) ; 2) .

2. Декартові прямокутні координати вектора. Довжина вектора.

Нехай вектор складає кут з віссю .

Проекцією вектора на вісь називається число, рівне довжині вектора (рис.1), взятої зі знаком «плюс», якщо напрям вектора збігається з напрямком осі і зі знаком «мінус» у противному випадку.

Проекцію вектора на вісь можна обчислити за формулою:

.

Декартовими прямокутними координатами вектора називаються його проекції на відповідні координатні осі .

Вектор з координатами записують у вигляді або, де - одиничні вектори координатних осей відповідно. Довжина вектора визначається за формулою:

.

Якщо вектор заданий точками і , то його координати обчислюються за формулами:

.

Приклад 2. Дано дві точки і . Знайдіть координати і довжину вектора .

За умовою задачі, , , , , , . Значить, .

.

Приклад 3. Дано два вектори и . Знайдіть координати і довжину вектора .

; ;

;

.

Поєднаємо паралельним переносом початок деякого вектора з початком координат прямокутної системи координат . Нехай - кути, які утворює вектор з осями координат відповідно (рис.2). Напрям вектора визначається за допомогою направляючих косинусів , , , для яких справедливі рівності:

, .

3. Скалярний добуток векторів.

Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (див. рис.3):

.

З рис. 3 видно, що .

Тому або . (*)