Властивості скалярного добутку.

1. — переставний (комутативний) закон.

2. — розподільний закон.

3. Якщо то .

4. (або чи ).

Зокрема, скалярний добуток одиничних векторів (ортів) задовольняє рівностям:

1. Якщо вектори задані координатами , або , , то

.

2. Кут між векторами і визначається за формулою:

.

1. Вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні, тобто:

.

2. Умова перпендикулярності векторів и :

.

Приклад 4. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що и , обчисліть .

.

Приклад 5. Дано вершини трикутника , и .Знайдіть: 1) внутрішній кут при вершині ;

2) .

Для знаходження кута знайдемо вектори и .

;

.

Тоді Т.е.

Відповідно доформули (*)

.

4. Векторний добуток двох

 

Поряд із множенням двох векторів, яке приводить до скаляра, розглянемо ще один тип множення векторів, внаслідок якого дістаємо вектор. Таке множення називається векторним.

Векторним добутком двох векторів  і  називається вектор , який задовольняє таким умовам:

1)     Довжина вектора  дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  і , тобто

   (37).

2) Вектор  перпендикулярний до площини цього паралелограма, тобто перпендикулярний і до вектора , і до вектора :

   та      (38).

3) Вектори , , , взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Для векторного добутку  вектора  на вектор  вводиться позначення:

    або        (39).

Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:

     якщо        (40).

Якщо вектори-множники колінеарні, то  і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто

   (41).

Закон комутативності для векторного добутку  не виконується, або точніше вектор  має напрям, протилежний до :

      (42).

Властивість сполучності відносно скалярного множника зберігається:

    (43).

Властивість розподільності для векторного добутку також зберігається:

      (44).

Якщо векторний добуток двох векторів записати у координатній формі, то маємо:

   (45).

Приклад 1. Дано:   і . Обчислити .

Розв’язання:

Відомо, що . Для того, щоб розв’язати задачу, нам потрібно знайти . З умови  маємо: , звідки =. Оскільки>0, то .

З тригонометричної тотожності знаходимо : ==.

Отже, =.

Приклад 2. Трикутник задано вершинами А(1; ‑1; 2), В(5; ‑6; 2), С(1; 3; ‑1). Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини В на сторону АС.

Розв’язання:

Знаходимо вектори  та  Тоді згідно з формулою   та формулою (45) дістанемо:

Крім того, , тобто  Отже, знаходимо  і маємо 

Приклад 3. Якій умові повинні задовольняти вектори  і , щоб вектори  та  були колінеарними?

Розв’язання:

Щоб ненульові вектори  та  були колінеарні, необхідно, щоб модуль їх векторного добутку дорівнював нулеві, тобто

,

Але  і , отже  звідки  або , тобто вектори  і  повинні бути колінеарними.

Приклад 4. Вектори ,  і  задовольняють умові  Довести, що 

Доведення:

Оскільки  то вектори ,  і  утворюють трикутник. Згідно з означенням векторного добутку вектори  перпендикулярні до площини трикутника і всі вони спрямовані в один бік:

 

 

Знайдемо модулі кожного з визначених векторів:

Маємо: , тому що кожний з виразів дорівнює подвійній площі трикутника АВС. Таким чином, усі три вектори  однаково спрямовані та мають однакову довжину, тобто: