5. Метод Гаусса та Гаусса-Жордана

Розв’язувати будь-які системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) можна методами Гаусса (виключення невідомих) та Гаусса-Жордана.

Суть методу Гаусса – зведення системи шляхом елементарних перетворень до такого вигляду системи, коли усі коефіцієнти, що знаходяться нижче головної діагоналі основної матриці, дорівнюють нулю.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання. Щоб виключити невідоме з другого та третього рівняння, віднімемо від них перше рівняння і одержимо систему

В останній системі виключимо із третього рівняння шляхом множення другого рівняння наі додаванням до третього рівняння. Одержимо

Вважаємо (стала), тоді з третього рівняння одержимо.

Підставимо це значення тав друге рівняння і одержимо:

.

Тепер підставимо в перше рівняння таі одержимо

.

Таким чином, задана система трьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими має одну вільну невідому . Розв’язком цієї системи буде

(4)

Зауваження: Метод Гаусса часто спрощують, перетворюючи не усю систему, а лише її розширену матрицю.

Поняття різновидів розв’язків

Якщо в розв’язку попереднього прикладу сталій надавати конкретні числові значення, то одержимо відповідні частинні розв’язки.

Коли розв’язок системи розглядають залежним від значень сталої , тоді його називаютьзагальним розв’язком системи. Якщо взяти , то одержаний розв’язок називають базисним. Прирозв’язок називають фундаментальним. В попередньому прикладі розв’язок виду (4) – загальний розв’язок системи. Базисним та фундаментальним розв’язком будуть

Якщо усі елементи базисного розв’язку невід’ємні, то такий розв’язок називають опорним.

Метод Гаусса-Жордана дозволяє ефективно розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь з багатьма невідомими, визначати при цьому ранги матриць та сумісність системи, своєчасно здійснювати контроль розрахунків.

При розв’язуванні лінійних алгебраїчних систем методом Гаусса-Жордана треба записати систему у вигляді таблиці і послідовно зробити декілька кроків перетворення Гаусса-Жордана з певним правилом переходу від однієї таблиці до іншої.

Кроком перетворення Гаусса-Жордана називають елементарні перетворення, за допомогою яких задана система зводиться до еквівалентної системи у базисному вигляді.

Алгоритм кроку перетворення Гаусса-Жордана:

1. Обираємо розв’язувальний елемент ;

2. Елементи і-го рядка(його звуть розв’язувальним) ділимо на і запишемо в-тий рядок нової розрахункової таблиці;

3. В розв’язувальному стовпці замість пишуть одиницю, а замість інших елементів цього стовпця пишуть нулі;

4. Усі інші елементи розрахункової таблиці, в тому числі і елементи контрольного стовпця, знаходять за формулою:

(5)

Обчислення елементів за формулою (5) доцільно виконувати з використанням схеми прямокутників

5. Роблять перевірку правильності розрахунків шляхом порівняння суми елементів рядка з відповідним елементом контрольного стовпця.

Приклад: Скласти розрахункову таблицю і виконати крок перетворень Гаусса-Жордана для системи

Розв’язування. Запишемо задану систему у вигляді розрахункової таблиці 1 при цьому в тий стовпець записують коефіцієнти, що стоять перед, в стовпецьзаписують вільні члени системи.

Таблиця 1

3	2	3	5	13
2	3	8	12	25
2	1	9	11	23

Елементи останнього – контрольного – стовпця повинні дорівнювати сумі елементів відповідного рядка таблиці.

За алгоритмом кроку перетворень Гаусаа-Жордана зробимо перехід до розрахункової таблиці 2.

1. Обираємо розв’язувальний елемент ;

2. Елементи першого (розв’язувального) рядка ділимо на 2 і запишемо в перший рядок таблиці 2;

3. У другому (розв’язувальному) стовпці , а інші елементи дорівнюють нулю.

4. Решту елементів таблиці 2 обчислюємо за формулою (5) з використанням схеми прямокутника:

Таблиця 2

3/2	1	3/2	5/2	13/2
-5/2	0	7/2	9/2	11/2
1/2	0	15/2	17/2	33/2

; ;

; ;

; ;

; ;

5. Перевіряємо правильність розрахунків:

; ; .