Введение

Пособие предназначено для эффективной подготовки студентов бакалавриата экономического профиля к тестированию на остаточные знания по дисциплине «математика». В руководстве представлены основные типы тестовых заданий, предъявляемые государственным стандартом математики.

Задания методически типизированы по темам дисциплины. В отдельные группы, также, вынесены задачи экономических приложений и смешанные типы. Последняя группа особенно актуальна для студентов с особым математическим профилем: факультет «Математические методы в экономике и анализ риска» и «Антикризисное управление».

В качестве самопроверки уровня подготовки, настоятельно рекомендуется прохождение тестирования на сайте Росаккредагенства Рособрнадзора министерства образования и науки www.fepo.ru.

Формы тестовых заданий

К основным формам тестовых заданий относятся следующие ниже типы.

Задания с выбором ответа

Данная форма подразделяется на два подтипа: выбор единственного варианта ответа и выбор нескольких верных утверждений. В первом случае используются круглые маркеры вариантов, допускающие лишь единственный выбор:

В случае множественного ответа маркеры выглядят в виде квадратов:

Задания с введением ответа

В таких тестовых заданиях варианты ответа не приводятся. Полученный ответ необходимо внести в специальное поле ,

согласно указанному в задании формату:

Вычислить . В ответе указать значение с точностью трех знаков после запятой. Ответ: 1.414

Задания на соответствия

Смыслом данного типа тестовых заданий является нахождение соответствующих пар эквивалентных друг другу вариантов ответа:

целое число

рациональное число

иррациональное число

комплексное число

Задания на упорядочивание

В подобных заданиях требуется упорядочить варианты ответов, согласно условию: расположите векторы по убыванию длины

Решение тестовых заданий Линейная алгебра

L1. Определитель равен

• -1

• -5

• 5

• -1

Решение: I способ (метод треугольников):

II способ (разложение по строке/столбцу): Выберем третью строку:

L2. Если и, тогда матрицаимеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: .

L3. Алгебраическое дополнение элемента определителяравно 1 приравном

• 7

• 3

• -4

• 6

Решение: Вычеркиваем строку и столбец матрицы, содержащий элемент , и записываем алгебраическое дополнение

.

Из уравнения находим.

L4. Определитель основной матрицы системы линейных уравнений

равен

• 0

• 16

• 22

• 26

Решение: Запишем систему уравнений в матричном виде:

.

Находим определитель основной матрицы путем разложения по третьей строке (см. II способ примера L1.):

.

L5. Определитель равен

• 

• 

• 0

• 

Решение: Разложим определитель по второй строке:

.

L6. Установите соответствие между матрицами и их рангами

○ ○ 1

○ ○ 4

○ ○ 5

○ ○ 0

○ 2

○ 3

Решение: Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов). Вычислим ранги для каждой матрицы:

Если вычислить определитель разложением по первой строке, получим . Ненулевой определитель соответствует линейно независимым строкам (столбцам), т.е. заключаем, что ранг матрицыравен 3.

Если же в этом случае попробовать вычислить определитель (по второй строке), получим ноль. Это означает, что строки матрицы линейно зависимы. Чтобы определить максимальное количество линейно независимых строк приведём матрицу методом Гаусса к лестничному виду:

. Отбрасывая третью строку как нулевую, получаем, что ранг матрицы равен 2.

. Поступая аналогично приходим к

. Остается лишь подсчитать количество ненулевых строк – ранг равен 1.

. Ранг нулевой матрицы по определению равен 0.

L7. Матрица . Тогда сумма элементов, расположенных на главной диагонали, равна

• 4

• 5

• -4

• 10

Решение: .

L8. Разность между числом свободных и базисных переменных системы уравнений

равна

Решение: Запишем расширенную матрицу системы:

.

Основная матрица системы оказывается уже приведённой к лестничному виду (выделено […]). Причем, первые 3 переменные (столбцы) являются базисными, а оставшиеся 2 переменные ­­– свободными. Ответ: .

L9. Дана система линейных уравнений . Система не имеет решений приравном

• 0

• -0.5

• -2

• 2

Решение: Неоднородная система уравнений несовместна, если в лестничном виде образована противоречивая строка . Запишем расширенную матрицу:. Складывая строки, получим. Для образования противоречивой строки необходимо. Ответ:.

Замечание: В данном случае квадратной неоднородной системы можно было бы приравнять определитель основной матрицы к нулю: .

L10. Квадратичная форма является положительно определённой приравном

• 2

• 1

• -5

• 0

Решение: Составим матрицу квадратичной формы . Согласно критерию Сильвестра для положительной знакоопределенности необходимо и достаточно. Подставляя поочередно предложенные ответы, приходим к выводу, что верным является лишь.

Замечание. Для отрицательной знакоопределенности было бы .

L11. В системе уравнений

независимыми (свободными) переменными можно считать

• 

• 

• 

• 

Решение: Запишем расширенную матрицу системы:

.

Основная матрица системы оказывается уже приведённой к лестничному виду (выделено […]). Причем, первые 3 переменные (столбцы) являются базисными, а оставшиеся 2 переменные ­­– свободными. Количество базисных и свободных переменных не зависит от самих переменных. Таким образом, из предложенных вариантов ответов подходит лишь первый, т.к. в оставшихся количество свободных переменных не равно 2.