1, 2, 3, 4

Y

ϕa

Рис. 2.1

Досліджуємо функцію на монотонність: y′ = a cosϕ; a cosϕ = 0;

Рис. 2.2

Проведемо пряму y = 0 (це найменше значення функції) і уявимо, що вона переміщується в напрямі зростання y паралельно

Розв’язання. Побудуємо графік функції. Для цього знайдемо похідну: y′ = ex2 −4 x (2x − 4); ex2 −4 x (2x − 4)= 0; x = 2. При переході через точку х = 2 похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс», тому х = 2 — точка мінімуму; y(2) = e−4 ; y(0)=1; y(5)= e5. Будуємо графік функції (рис. 2.3).

Y

відносно х, попередньо прологарифмувавши обидві його частини:

Підставляємо здобуті вирази у функцію розподілу:

Диференціюємо функцію розподілу:

Отже, остаточна щільність розподілу набуває вигляду:

Приклад 9. Під час сортування сталевих кульок за їхніми розмірами до групи з номінальним розміром діаметра 10 мм потрапляють кульки, які проходять через отвір діаметром 10,1 мм, і ті, що не проходять через отвір діаметром 9,9 мм. Кульки виготовлені зі сталі, густина якої 7,85 г/см3. Знайти математичне сподівання і дисперсію маси кульок, вважаючи розподіл діаметра кожної кульки в полі допуску рівномірним.

Розв’язання. Згідно з умовою щільність розподілу Х — діаме-

Дисперсію обчислюємо так:

MY 2 = ∞∫(ϕ(x))2 f1(x)dx,

Приклад 10. Знайти функціональне перетворення, за допомогою якого з послідовності випадкових величин, розподілених рівномірно на проміжку (0;1], можна дістати послідовність вели-

чин, розподілених показниково з параметром a.

Розв’язання. Шукаємо монотонно зростаючу диференційовну функцію. Щоб визначити її, запишемо формулу для відшукання

щільності f (y) за даною щільністю f1 (x):

dx = ae−ay dy; x = ∫ae−ay dy +C; x = −e−ay +C.

Розв’яжемо здобуте співвідношення відносно у:

Y = − 1a ln(C − X ).

Якщо Х = 0, то й Y = 0. Тоді С = 1 і Y = − 1a ln(1 − X ).

Знайдене перетворення дає змогу діставати з послідовності рівномірно розподілених на проміжку (0,1] випадкових величин

послідовність випадкових величин, розподілених показниково з параметром a.

66

Вправи для самостійного розв’язування

2.50. Робітник обслуговує 16 однотипних верстатів, розміщених у 4 ряди по 4 верстати в ряду. Відстань між рядами вер-

статів дорівнює b, а між верстатами — a. Події — «робітник

перебуває біля довільного верстата» і «довільний верстат потребує обслуговування» — рівноможливі. Знайти математичне сподівання відстані, яку проходить робітник між двома обслуговуваннями.

2.51.Довести, що сума двох випадкових величин, розподілених за законом Пуассона, має також закон розподілу Пуассона.

2.52.Кількість відказів телевізора протягом гарантійного

строку розподілена за законом Пуассона з a = 0,5. У разі і-го відказу витрати на ремонт yi = (i2 + 2i)c. Знайти математичне споді-

вання і дисперсію витрат упродовж гарантійного строку.

2.53. Залежно від умов зберігання кількість придатної продукції через період t визначається за формулою:

Y (t)= Ae−Xt ,

де, А — кількість продукції, закладеної на зберігання; Х — випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку (c;d ].

Визначити закон розподілу для Y (t). Знайти для нього матема-

тичне сподівання та дисперсію.

2.54. Закон розподілу похибок при вимірюванні радіуса R кола — нормальний з параметрами a =100, σ = 0,25. Знайти закон

розподілу і числові характеристики похибок при обчисленні довжини кола та площі круга.

2.55. Залишок матеріалу А на початок місяця становив 300 одиниць. Витрати матеріалу за день роботи — випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку (10; 15]. Знайти закон розподілу та математичне сподівання:

а) для тривалості періоду Y , на який вистачить матеріалу; б) для залишку матеріалу Z після 20 днів роботи.

2.56.Урожайність зернових, ц/га, — випадкова величина, рівномірно розподілена на проміжку (15; 45]. Знайти закон розподілу та математичне сподівання випадкової величини Y — собівартості виробництва 1 ц зерна, якщо витрати з виробництва зерна на 1 га становлять b грн.

2.57.Залежно від режиму температур випадкова величина опору X розподілена за законом, який задається щільністю роз-

67

І — сили струму у мережі, якщо напруга в ній 220 В.

2.58. Знайти закон розподілу та математичне сподівання довжини хорди X , яка сполучає задану точку кола радіусом а з ін-

шою точкою, усі положення якої на колі рівноможливі.

2.59. Знайти функціональне перетворення, за допомогою якого рівномірно розподілена на проміжку (0; 1] випадкова величина Х перетворюється на нормально розподілену величину Y з a = 0,

і σ =1.

2.60. Яким функціональним перетворенням випадкова величина X , що розподілена показниково (f (x)= ae−ax (x > 0)), перетворюється на випадкову величину Y , що розподілена за законом

2.4. ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ФУНКЦІЇ

Закон розподілу випадкової величини Х може бути заданий характеристичною функцією g X (t)= MeitX (i = −1). У загальному

випадку ця функція набуває комплексних значень. Визначають характеристичну функцію залежно від типу випадкової величини підсумовуванням або інтегруванням. Розглянемо властивості характеристичної функції.

1) g X (0)=1;

2) якщо Y = aX + b і відома g X (t), то gY (t)= eitb g X (at);

3) характеристична функція суми двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їхніх характеристичних функцій;

i k

Розглянемо характеристичні функції деяких законів розподілу.

1)біноміальний закон розподілу: g X (t)= (peit +1 − p)n ;

2)закон розподілу Пуассона: g X (t)= e−a(1−eit );

68

Розглянемо граничні теореми, які виконуються для послідовності Fn (x) і відповідної їй послідовності характеристичних

функцій.

Пряма теорема. Якщо послідовність функцій розподілу Fn (x) збігається до функції F(x) у всіх точках неперервності останньої, то послідовність характеристичних функцій gn (t) збігається, якщо до функції g(t), яка буде характеристичною функцією, що відповідає F(x).

Обернена теорема. Якщо послідовність характеристичних функцій gn (t) збігається на всій осі до неперервної функції g(t),

то послідовність функцій розподілу Fn (x), якщо n → ∞, збігається до F(x), причому F(x) буде функцією розподілу, яка відповідає характеристичній функції g(t).

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Задано графік функції розподілу F(x) (рис. 2.4). Знайти g X (t).

Рис. 2.4

69