1, 2, 3, 4
.pdfРозв’язання. Згідно з властивостями математичного сподівання маємо:
MZ = M (αX +βY + γ)= αMX +βMY + γ = αa +βb + γ.
Величини X i Y залежні. Виведемо формулу для визначення дисперсії Z :
DZ = M (Z − MZ )2 = M ((αX +βY + γ)− M (αX +βY + γ))2 = = M ((αX +βY + γ)−(αa +βb + γ))2 = M (α(X − a)+β(Y −b))2 =
= M (α2 (X − a)2 + 2αβ(X − a)(Y −b)+β2 (Y −b)2 )= α2 M (X − a)2 + + 2αβM (X − a)(Y −b)+β2M (Y −b)2 = α2σ12 + 2αβρXY +β2σ22.
Приклад 3. Визначити математичні сподівання і кореляційну матрицю системи випадкових величин (X ,Y ), якщо
f (x,y)= 2 3 .
π(x2 + y2 +1)
Розв’язання. Знайдемо числові характеристики системи за наведеними раніше формулами:
|
2 |
∞ ∞ |
xdx |
|
|
2 |
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|||
MX = |
∫dy ∫ |
|
= |
|
∫dy∫(x2 + y2 +1)−3 d(x2 + y2 +1)= |
|||||||||||
|
|
+ y2 +1)3 |
|
|
||||||||||||
|
π −∞ −∞ (x2 |
|
|
π |
2 |
−∞ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 ∞ |
|
|
(x2 + y2 +1)−2 |
|
b |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
∫ |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
−b |
dy |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
π −∞ |
b→∞ |
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, що з огляду на симетрію розподілу, математичне сподівання Y також дорівнює нулю.
Визначаємо дисперсії величин, які входять до системи: DX =
|
2 |
∞ |
∞ |
x |
2 |
dx |
|
|
= MX 2 = |
∫ |
dy ∫ |
|
|
. Цей інтеграл обчислюємо, інте- |
|||
|
|
+ y 2 +1)3 |
||||||
|
π −∞ |
−∞ (x2 |
|
груючи один раз частинами, а далі переходимо до полярних координат.
|
2 |
|
|
|
x2dx |
x = u; du = dx; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
∞ |
|
|
xdx |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||
DX = |
|
∫ |
dy ∫ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
π −∞ −∞ (x2 |
+ y2 +1) |
dv = |
|
(x2 + y2 +1)3 |
; v = − |
4 |
|
(x2 + y2 +1)2 |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
∫ lim |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−b |
dy |
+ |
|
|
|
|
∫ dy ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
4(x |
|
|
|
|
|
+1) |
2π |
(x |
|
|
|
|
|
+1) |
|||||||||||||||||||||||
|
π −∞ |
|
|
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
−∞ −∞ |
2 |
+ y |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
x = r cos ϕ; y |
= r sin ϕ; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
rdr |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= dxdy = rdrdϕ; |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫ |
dϕ∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= r |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
(r2 +1) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 2π |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
∫ |
lim |
− |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
dϕ = |
|
|
|
∫ dϕ = |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2(r2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2π 0 |
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
На підставі симетричності щільності розподілу системи має-
мо: DY = DX = |
1 |
. Залишилося знайти K XY . Математичні споді- |
|||||||
вання |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
X i Y дорівнюють нулю, а тому |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
∞ |
∞ |
xdx |
|
|
|
|
|
KXY = |
|
∫ |
ydy ∫ |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
+ y2 +1)3 |
||||
|
|
|
|
2π −∞ |
−∞ (x2 |
|
(нулю дорівнює внутрішній інтеграл, який було обчислено при знаходженні математичного сподівання Х).
Отже,
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
2 |
||||
K = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
||
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
Вправи для самостійного розв’язування
3.10. Систему випадкових величин (X ,Y ) задано законом розподілу:
|
X |
–1 |
0 |
1 |
Y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
0,1 |
0,3 |
0,2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0,1 |
0,1 |
0,05 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0,05 |
0,04 |
0,06 |
|
|
|
|
|
Знайти числові характеристики системи.
92
3.11. Систему випадкових величин (X ,Y ) задано законом розподілу:
|
X |
0 |
1 |
Y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
0,3 |
0,2 |
0 |
|
0,2 |
0,2 |
|
|
|
|
1 |
|
0,05 |
0,05 |
|
|
|
|
Знайти математичні сподівання та дисперсії величин, які входять до системи.
3.12. Систему випадкових величин розподілено рівномірно в області, що являє собою трикутник із вершинами O(0,0), A(2,4),
B(4,2). Знайти кореляційну матрицю системи.
3.13. Задано матрицю K системи випадкових величин (X ,Y, Z ):
16 |
−8 |
10 |
|
|
|
−8 |
9 |
−9 |
|
K = |
. |
|||
|
10 |
−9 |
25 |
|
|
|
Знайти D(2X +Y +3Z ).
3.14. Скласти кореляційну матрицю для системи випадкових величин(X ,Y, Z ), якщо σX = 4, KXY = 2, KXY = −1,6, ρXY = 0,4,
ρXZ = −0,5, а випадкові величини Z i Y некорельовані.
3.15.Випадкові величини X та Y розподілені нормально з тими самими параметрами a i σ. Знайти коефіцієнт кореляції си-
стеми величин (αX +βY , 2αX −3βY ), якщо ρXY = −0,6.
3.16. Виконуються чотири незалежні вимірювання тієї самої величини. Результати вимірювання X1, X 2 , X3 , X 4 мають одна-
кові математичні сподівання та дисперсії. Розглянемо величини
Y1 = −X1 − X 2 , Y2 |
= X 2 + X3 , Y3 = X 4 − X 2. Знайти числові характе- |
ристики системи |
(Y1,Y2 ,Y3 ). |
3.17.Z = αX +βY. За яких умов DZ < α2 DX +β2 DY ?
3.18.Вивести формулу для дисперсії добутку двох незалежних випадкових величин.
3.19.Значення X коливається під впливом випадкових факторів А і В. Середнє квадратичне відхилення в результаті дії А дорівнює 1,2, а В — 1,1. Коефіцієнт кореляції між відхиленнями дорівнює 0,125. Знайти σX як результат дії двох факторів.
93
3.20. Випадкову величину X розподілено рівномірно на про-
міжку (–1, 1 ]. Y = X m (m — ціле число). Знайти ρXY . |
|
|
|
3.21. Випадкові величини X1, X 2 ,..., X n |
мають однакові мате- |
||
матичні сподівання і дисперсії, ρij = ρ0 ; |
m |
|
m+r |
Y = ∑ Xi ; |
Z = |
∑ Xi ; |
|
|
i =1 |
|
i =m+1 |
n
U = ∑ Xi . Для системи (Y , Z,U ) знайти кореляційну матрицю.
3.22. Задано систему випадкових величин (X ,Y ). МХ = MY = 0,
DX = 100, DY = 64. При якому значенні a випадкові величини U = X i V = aX +Y будуть некорельованими, якщо MXY = 32? Знайти MV i DV.
3.3. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ВИПАДКОВИХ АРГУМЕНТІВ
Нехай задано систему випадкових величин (X ,Y ) і функцію Z = ϕ(X ,Y ). Потрібно знайти закон розподілу для Z. Якщо (X ,Y ) —
система дискретних величин, то відомі |
ймовірності pij = |
|
= P(X = xi ;Y = y j ) |
і можна знайти ймовірності |
P(Z = zij = ϕ(xi , y j ))= |
= pij , i =1,2,..., m; |
j =1,2,..., n. |
|
А якщо маємо систему неперервних випадкових величин, то для визначення f (z) обчислюємо F(z)= ∫∫ f (x, y)dxdy, де D(z) —
область на площині XOY, в якій ϕ(x, y)< z.
Щільність розподілу f (z) дістаємо диференціюванням функ-
ції розподілу.
Щільність розподілу суми двох випадкових величин Z = X +Y подається формулами:
f (z)= ∞∫ f (x, z − x)dx = ∞∫ f (y, z − y)dy.
|
−∞ |
−∞ |
Якщо |
X i Y — незалежні випадкові величини, то f (x, y)= |
|
= f1 (x)f2 |
(y) і f (z)= ∞∫ f1(x)f2 (z − x)dx = ∞∫ f1(z − y)f2 (y)dy. |
|
|
−∞ |
−∞ |
Нерідко доводиться розглядати суми випадкових величин, ро-
зподілених за нормальним законом. Здобута випадкова величина
— результат підсумовування — має нормальний закон розподілу. Параметри розподілу додаються в тому разі, якщо величини не-
94
залежні. Додаючи дві нормально розподілені величини із параметрами MX = a1, DX = σ12 , MY = a2 , DY = σ22 і коефіцієнтом кореляції ρXY , маємо нормальний закон розподілу з параметрами
MZ = a1 + a2 , DZ = σ12 + σ22 + 2ρXY σ1 σ2 .
У загальному випадку закон розподілу функцій двох неперервних випадкових величин визначаємо за такою схемою:
1)відшукуємо область зміни системи випадкових величин
(X ,Y );
2)обчислюємо найбільше і найменше значення функції Z =
=ϕ(X ,Y ) у заданій області;
3)розглядаємо сім’ю кривих z = ϕ(x, y) і встановлюємо, скільки аналітичних виразів матиме f (z);
4)будуємо лінію z = ϕ(x, y) і визначаємо D(z), тобто множину точок, для яких ϕ(x, y)< z;
5)інтегруємо щільність розподілу на множині D(z), дістаючи F(z);
6)щоб знайти f (z), диференціюємо функцію розподілу, враховуючи той факт, що коли:
ϕ |
|
(z ) |
ψ |
(x, z ) |
(x, y)dy, |
Φ(z)= |
2∫ dx |
|
2 ∫ f |
||
ϕ1 |
(z ) ψ1 (x, z ) |
|
|||
то |
|
|
|
|
|
Φ′(z)= ϕ2∫(z()f (x, ψ2 (x, z))ψ′2 (x, z)− f (x, ψ1 (x, z))ψ1′(x, z))dx.
ϕ1 (z )
Числові характеристики функцій можна знайти, визначивши закон розподілу, а також скориставшись формулами, аналогічними тим, які застосовувались для функцій одного випадкового ар-
гументу: MZ = ∞∫ ∞∫ϕ(x,y)f (x,y)dxdy; DZ = MZ 2 −(MZ )2 ;
−∞ −∞
MZ 2 = ∞∫ ∞∫(ϕ(x,y))2 f (x,y)dxdy.
−∞ −∞
Деякі розподіли випадкових величин, що застосовуються в математичній статистиці
Розглянемо деякі розподіли випадкових величин, що застосовуються в математичній статистиці. Вони являють собою функції кількох випадкових аргументів.
95
1. Розподіл χ2 . Розглядаємо послідовність X1, X2 ,..., Xn попарно
незалежних випадкових величин, які розподілені нормально з нульовими математичними сподіваннями і одиничними дисперсіями.
n
Якщо U = ∑ X i2 , то ця сума має розподіл χ2 з n ступенями во-
i=1
лі. Щільність розподілу f |
|
|
(u)= |
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
−1 |
− |
u |
|
u > 0. Числові ха- |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
u 2 |
e |
2 , |
||||||||
χ |
|
n |
n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
2 Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
рактеристики розподілу: |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
MU = n; DU |
= 2n. До виразу щільності |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
∞ |
n |
−1 −x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
розподілу входить гамма-функція Γ |
|
|
|
= ∫ x 2 |
|
e |
|
dx. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Графік щільності розподілу зображено на рис. 3.3.
f(x)
λ2
Х
О
Рис. 3.3
Для розподілу χ2 складено таблиці виду P(χ2 > χα2 )= ∞∫ fχ2 (x)dx
χα2
для кількості ступенів волі від 1 до 30. У таблицях для заданих значень імовірностей (здебільшого α = 0,99; 0,98; 0,95; 0,9; 0,8; 0,7;
0,5; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005; 0,002; 0,001) вказано зна-
чення χα2 для відповідної кількості ступенів волі. Якщо кількість
ступенів волі більша від 30, то розподіл мало відрізняється від нормального звідповідними математичним сподіванням ідисперсією.
2. Розподіл Стьюдента. Розподіл Стьюдента з n cтупенями волі має випадкова величина T = VX n, де Х — нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням і одини-
96
чною дисперсією, |
а V = U . Випадкова величина U не залежить |
||||||||||||||
від Х і має розподіл |
χ2 з n ступенями волі. Щільність розподілу |
||||||||||||||
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|||||
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
f (t)= |
|
|
|
+ |
|
|
. |
Графік щільності розподілу Стьюдента |
|||||||
|
1 |
n |
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Γ |
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за зовнішнім виглядом нагадує нормальні криві. Але вони значно
повільніше спадають до осі t, якщо t → ∞, особливо за малих значень n (рис. 3.4).
f(t)
О |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.4
Складено таблиці розподілу Стьюдента, здебільшого виду F(t)= ∫t f (z)dz, для кількості ступенів волі від 1 до 20. Якщо кіль-
−∞
кість ступенів волі більша, то можна застосовувати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.
3. Розподіл Фішера. |
Якщо випадкові величини U i V |
неза- |
|||||||||||||||||||||||||
лежні і мають χ2 — розподіл відповідно з n1 |
i n2 ступенями волі, |
||||||||||||||||||||||||||
то випадкова величина |
F = |
U |
|
n2 |
|
має розподіл Фішера з |
n1, n2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ступенями волі. Щільність цього розподілу подається формулою: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
+ n |
|
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Γ |
1 |
2 |
n 2 n |
2 |
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f |
|
(x)= |
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
x |
2 |
−1 |
(n |
+ n x) |
− |
n1 +n2 |
, x > 0. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
F |
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Γ |
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Щільність розподілу Фішера має графік, зображений на рис. 3.5.
f(x)
О |
Х |
|
Рис. 3.5
Для розподілу Фішера складено таблиці, в яких для відповідної кількості ступенів волі для ймовірностей α = 0,05 i α = 0,01
наведено значення fα – P(F > fα )= α.
Приклади розв’язування задач
Приклад 1. Махове колесо виготовляється із двох однакових частин. Маса кожної з них — нормально розподілена величина з
математичним сподіванням, що дорівнює a , і дисперсією σ2 . Для балансування колеса важливою є різниця мас зазначених частин. Знайти закон розподілу заданої випадкової величини.
Розв’язання. Позначимо масу першої частини літерою Х, а дру-
гої — Y. Різниця мас Z = |
|
X −Y |
|
. |
Закони розподілу X i Y задаються |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (x)= |
1 |
|
|
e− |
(x−a)2 |
|
|
|
|
|
(y)= |
|
1 |
|
e− |
(y−a)2 |
|||||
щільностями розподілу: |
|
|
|
|
|
2σ2 |
, |
|
|
f |
2 |
|
|
2σ2 |
. |
|||||||||
|
1 |
|
|
σ 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2π |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Y : f (x, y) |
|
|
1 |
|
− |
|
1 |
|
((x−a)2 +(y−b)2 ) |
|
|
|
|
||||||||||
Спільний розподіл X i |
|
|
|
|
|
2 |
Область |
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
e |
2 |
σ |
|
|
|
|
|
. |
2πσ2
зміни системи (X ,Y ) — уся числова площина, функція Z набуває невід’ємних значень. При деякому додатному значенні z побуду-
98
ємо область x − y < z. Ця область обмежена прямими x − y − z = 0 i x − y + z = 0.
Відповідну побудову виконано на рис. 3.6.
Y |
|
|
D |
О |
X |
|
|
Рис. 3.6 |
|
Область D(z), тобто область, для якої x − y < z , лежить між прямими (на рис. 3.6 її заштриховано). Побудуємо функцію ро-
|
F(z)= ∫∫ f (x, y)dxdy = |
1 |
∞ − |
1 |
|
(x−a)2 |
2 x+z − |
1 |
|
(y−a)2 |
зподілу: |
|
2 |
|
2 |
||||||
|
∫ e 2σ |
|
|
dx ∫ e 2σ |
|
dy. |
||||
2πσ2 |
|
|
|
|||||||
|
D(z ) |
−∞ |
|
|
|
x−z |
|
|
|
Диференціюючи функцію розподілу, дістаємо щільність розподілу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ − |
1 |
(x−a)2 − |
|
1 |
|
(x+z−a)2 |
|
− |
|
1 |
(x−z−a)2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
∫e 2σ2 |
|
e 2σ2 |
|
|
|
+ e 2σ2 |
|
dx = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2πσ2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ − |
|
1 |
((x−a)2 +(x−a+z )2 ) |
|
|
1 |
|
|
∞ − |
|
1 |
|
((x−a)2 +(x−a−z )2 ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
∫e 2 |
σ |
|
|
|
|
|
dx |
+ |
|
|
|
∫e 2 |
σ |
|
|
|
|
dx = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσ2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2πσ2 −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
∞ − |
1 |
|
((x−a)2 +(x−a)2 +2z(x−a)+z 2 ) |
|
|
1 |
|
∞ − |
|
1 |
|
((x−a)2 +(x−a)2 −2z(x−a)+z 2 ) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
∫ e 2σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + |
|
|
|
∫e 2σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||||
2πσ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσ2 −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
z 2 |
|
∞ − |
1 |
((x−a)2 +z(x−a)) |
|
∞ − |
|
1 |
((x−a)2 −z(x−a)) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
e 2σ |
|
∫e |
σ |
|
|
|
|
|
dx + |
|
∫e |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
2πσ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
Для обчислення знайдених невласних інтегралів застосуємо наведений далі інтеграл, який при А > 0 виражається за допомогою інтеграла Пуассона:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
±2Bx+C dx = |
π |
e |
− AC −B2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e−Ax |
A |
A . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тоді |
|
∞ − |
|
1 |
((x−a)2 |
+z(x+a)) |
|
∞ − |
1 |
|
((x−a)2 −z(x+a)) |
|
z 2 |
|
|||||||||||
|
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∫e 2 |
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫e 2σ2 |
|
|
dx = σ πe4σ2 . |
|
||||||||||||
|
|
−∞ |
щільність |
|
|
−∞ |
|
|
буде |
такою: |
f (z)= |
||||||||||||||
Отже, |
|
розподілу |
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
σ πe− |
z2 |
|
z2 |
|
1 |
|
e− |
z2 |
, (z > 0 ). |
|
|
|
|
|||||||||
= 2 |
|
2σ2 |
e |
4σ2 |
|
= |
|
4σ2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2πσ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З точністю до сталої дістали так званий напівнормальний за- |
|||||||||||||||||||||||||
кон розподілу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2. Маса деталей — випадкова величина, рівномірно розподілена на проміжку (2;2,5]. Знайти закон розподілу маси двох деталей.
Розв’язання. Позначимо |
масу однієї деталі літерою Х, а дру- |
гої — Y. Вага двох деталей |
Z = X +Y. Закони розподілу X і Y і |
системи (X ,Y ) визначаються через щільності розподілу:
0, якщо x ≤ 2;
f1 (x)= 2, якщо 2 < x ≤ 2,5;0, якщо x > 2,5.
0, якщо x ≤ 2;
f 2 (y)= 2, якщо 2 < x ≤ 2,5;0, якщо x > 2,5.
f (x, y)= 0, |
якщо(x, y) S; |
4, |
якщо(x, y) S. |
Множину S зображено на рис. 3.7.
Наведені раніше формули для визначення закону розподілу суми двох випадкових величин застосувати не можна, тому розв’яжемо задачу за загальними правилами. Знайдемо область значень для су-
ми. Очевидно, що z (4;5]. Пряма x + y = z проходить через множину S і, якщо 4 < z < 4,5, перетинає прямі x = 2 i y = 2. Область D(z) — множина точок, які лежать нижче від прямої. Справді, як-
що підставимо в рівняння прямої, координати, наприклад, точки (2; 2), то вона задовольняє умову. Отже, якщо z (4;4,5), то область
D(z) має такий вигляд, як зображено на рис. 3.8.
100