1, 2, 3, 4

i y = 2,5 . Область D(z) лежить нижче від прямої (рис. 3.9).

Y

4,5

Для того щоб зменшити кількість інтегралів, які потрібно обчислювати, знайдемо ймовірність протилежної події і зінтегрує-

мо за множиною S \ D(z) (на рис. 3.10 її не заштриховано):

101

Приклад 3. Для підвищення надійності роботи системи паралельно приєднуються n елементів, тривалість функціонування яких —

випадкова величина з функцією розподілу F(x). Знайти закон розподілу длявипадкової величини — тривалості роботи системи.

Розв’язання. Елементи з’єднано паралельно, тому тривалість безвідказної роботи Z = max{X1, X2 ,..., Xn}. Величина Xi — трива-

лість безвідказної роботи i-го елемента. Знайдемо функцію розподілу для випадкової величини Z. Вона набуває значень, менших від

z, якщо виконується добуток подій (X1 < z)I(X2 < z)I... I(Xn < z). Імовірність добутку цихподій дорівнює добутку їхніх імовірностей:

F(z)= P(Z < z)= P((X 1 < z)I(X 2 < z)I...I(X n < z))=

розподілу:

f(z)= n(F1 (z))n−1 f1 (z).

Уформулі F1(z) i f1(z) — відповідно функція і щільність розподілу величин, які входять до системи.

Приклад 4. Знайти закон розподілу для випадкової величини Z — тривалості безвідказної роботи системи, в якій послідовно

102

з’єднано 4 елементи, час безвідказної роботи яких розподілено показниково з параметром a = 0,01. Знайти P(Z ≥ 50).

Розв’язання. Випадкова величина Z визначаться співвідношенням:

Z = min{X 1 , X 2 , X 3 , X 4 }.

Випадкова величина Xi — тривалість безвідказної роботи i-го

елемента, i =1,2,3,4. Функцію визначено так, бо вихід із ладу довільного елемента виводить систему з робочого стану.

Розглянемо загальний випадок для функції Z = min{X1, X2 ,..., Xn}. Функцію F(z)= P(Z < z) подамо через імовірність протилежної події:

F(z)= P(Z < z)=1 − P(Z ≥ z)=

=1 − P((X1 ≥ z)I (X 2 ≥ z)I... I (X n ≥ z)).

Застосуємо теорему множення ймовірностей, ураховуючи, що P(Xi ≥ z)=1− P(Xi < z)=1− Fi (z). Тоді дістанемо: F(z)=1 −

− ∏n (1 − Fi (z)).

i=1

У частинному випадку, якщо всі випадкові величини однаково розподілені з функцією розподілу F1(x), то маємо: F(z)=

=1 − (1 − F1 (z))n . Диференціюємо функцію розподілу:

f (z)= n(1 − F1(z))n−1 f1(z).

Повернемося до нашої задачі. Оскільки n = 4; F1(x)=1−e−ax ; a = 0,01, то

f (z)= 4(1−1+e−az )3 ae−az = 4ae−4az , z ≥ 0.

Виконаємо обчислення:

=1+e−200a −1 = e−2 ≈ 0,13534.

103

Вправи для самостійного розв’язування

3.27. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку (0, 3]. Знайти закон розподілу для Z = X +Y 2.

104

3.28. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку

X

X+Y .

3.29.Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку (0, 2]. Знайти закон розподілу для Z = X 2 −Y 2.

3.30.Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку=

(1, 2]. Знайти закон розподілу для Z = Y 2 .

X

3.31. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку (1, 2]. Знайти закон розподілу для Z = ln(X +Y ).

3.32. Тріщини, які утворюються всередині довгих прямокутних пластин листового металу, можна розглядати як відрізки прямої, довжина якої — випадкова величина X , рівномірно роз-

поділена на проміжку (0, l]. Вони розміщені в металі довільним способом. Нехай φ — кут, який утворює відрізок прямої з прямою, що перпендикулярна до сторін пластини. За появи тріщини необхідно вирізати смугу, обмежену прямими, які перпендикулярні до сторін пластини і дотикаються до обох кінців тріщини. Знайти закон розподілу випадкової величини Z — довжини куска, який вирізується.

3.33. Для підвищення надійності роботи вузла приладу паралельно під’єднано n однакових елементів, тривалість роботи яких розподілена показниково з параметром a. Знайти закон розподілу випадкової величини Z — тривалості роботи приладу. Скільки потрібно взяти елементів, щоб з гарантувалася безперерв-

на робота приладу протягом 150 год, якщо a = 0,01 ?

3.34. В електричній мережі послідовно з’єднано 5 опорів. Тривалість роботи кожного з них — випадкова величина Х зі щільністю:

0, якщо x ≤ 0,

f (x)= ax, якщо 0 < x ≤ 5,

0, якщо x > 5.

Знайти закон розподілу для випадкової величини Z — тривалості безперервної роботи опорів.

3.35. У разі профілактичного обслуговування обладнання майстер оглядає і за потреби ремонтує k верстатів. Відомо, що тривалість ремонту одного верстата — випадкова величина, розподілена показниково з параметром a . Знайти закон розподілу загальної тривалості ремонту.

105

3.36. Систему випадкових величин (X ,Y ) задано законом розподілу:

Знайти DZ, якщо Z = X 2 + 2Y 2 .

3.37.Систему випадкових величин (X ,Y ) рівномірно розподілено в області, що являє собою багатокутник з вершинами A(4,0),

B(4,2), C(0,2), O(0,0). Знайти D(XY ).

3.38.Тривалість безперервної роботи ЕОМ розподілено показниково з a = 0,01, Тривалість ремонту розподілено рівномірно на

проміжку (0,2; 2]. Вартість виконання ремонту залежить від тривалості ремонту і пов’язана з ним співвідношенням Y = 0,5X 2T. У

цій формулі Y — витрати на ремонт; X — тривалість ремонту; T — тривалість безперервної роботи машини. Знайти математичне сподівання витрат на ремонт за період 720 год.

106

Розділ 4

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА ТЕОРІЇ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

Теорія випадкових процесів — це розділ математичної науки, який вивчає закономірності випадкових явищ у динаміці їхнього розвитку.

4.1. ОЗНАЧЕННЯ ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ ТА ЙОГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Випадковим процесом X (t) називається процес, значення

якого за будь-якого значення аргументу t є випадковою величиною.

Реалізацією випадкового процесу називається детермінована функція x(t), на яку перетворюється випадковий процес X (t)

внаслідок випробування, тобто його траєкторія.

Кілька реалізацій певного випадкового процесу зображено на рис. 4.1. Нехай переріз цього процесу при даному t є непере-

рвною випадковою величиною. Тоді випадковий процес X (t) при даному t визначається щільністю ймовірності ϕ(x,t).

Очевидно, що щільність імовірності ϕ(x,t) не є вичерпним заданням випадкового процесу X (t), оскільки вона не виражає залежності між його перерізами в різні моменти часу.

Випадковий процес X (t) являє собою сукупність усіх перерізів

за всіх можливих значень t, тому для його задання необхідно розглядати багатовимірну випадкову величину (X (t1 ), X (t2 ),..., X (tn )),

утворену з усіх перерізів цього процесу.

Таких перерізів нескінченно багато, але для задання випадкового процесу вдається обмежитись порівняльно невеликою кількістю перерізів.

107

Випадковий процес має порядок п, якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу ϕ(x1, x2 ,..., xn ;t1,t2 ,...,tn ) п

Випадковий процес може бути заданий числовими характе-

ристиками.

Математичним сподіванням випадкового процесу X (t) на-

зивається детермінована функція ax (t), яка за будь-якого значен-

Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення — розкид реалізацій відносно середньої траєкторії.

108

Кореляційною функцією випадкового процесу X (t) називається детермінована функція:

K x (t1 , t2 )= M [(X (t1 )− ax (t1 ))(X (t2 )− ax (t2 ))]

двох змінних t1 і t2 , яка для кожної пари змінних t1 і t2 дорівнює коваріації відповідних перерізів X (t1 ) і X (t2 ) випадкового процесу.

Кореляційна функція K x (t1 ,t2 ) характеризує не лише ступінь

близькості лінійної залежності між двома перерізами, а й розкид цих перерізів відносно математичного сподівання ax (t).

Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу.

Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу X (t) називається функція

ρx (t1 ,t2 )= σK(tx ()tσ1,t2(t) ).

x 1 x 2

Приклад. Випадковий процес визначається формулою X (t)= = X cos ωt, де Х — випадкова величина. Знайти основні характеристики цього процесу, якщо M (x)= a, D(X )= σ2.

Розв’язання. Згідно з властивостями математичного сподівання і дисперсії маємо:

ax (t)= M [X (t)]= M [X cos ωt]= cos ωtM (X )= a cos ωt;

Dx (t)= D[X (t)]= D[X cos ωt]= cos 2 ωtD(X )= a cos 2 ωt .

Знаходимо далі кореляційну функцію

K x (t1 , t2 )= M [(X cos ωt1 − a cos ωt1 )(X cos ωt2 − a cos ωt2 )]= = cos ωt1 cos ωt2 M [(X − a)(X − a)]= cos ωt1 cos ωt2 D(X )=

=σ2 cos ωt1 cos ωt2 ,

атакож нормовану кореляційну функцію

ρx (t1 ,t2 )= ( σ2 cos ω)(t1 cos ωt2 ) ≡1. σcos ωt1 σ cos ωt2

Випадкові процеси можна класифікувати залежно від того, плавно чи стрибкоподібно змінюються стани системи, в якій вони відбуваються, скінченна чи нескінченна множина цих станів. Серед випадкових процесів особливе місце посідають марковські випадкові процеси, що становлять основу теорії масового обслуговування.

109

4.2. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

На практиці часто доводиться стикатися із системами, призначеними для багаторазового використання під час розв’язування однотипних задач. Процеси, які при цьому відбуваються, називають процесами обслуговування, а відповідні системи — сис-

темами масового обслуговування (СМО).

Прикладами таких систем є телефонні системи, ремонтні майстерні, обчислювальні комплекси, каси, де продаються залізничні чи авіаквитки, магазини, перукарні тощо.

Кожна МСО складається з певної кількості обслуговуваних одиниць (пристроїв, пунктів, станцій), які називатимемо каналами обслуговування. Каналами можуть бути лінії зв’язку, робочі точки, обчислювальні машини, продавці і т. п. За кількістю каналів СМО поділяються на одно- та багатоканальні.

Заявки надходять до СМО звичайно не регулярно, а випадко-

во, створюючи так званий випадковий потік заявок (посилань).

Обслуговування заявок також триває протягом певного випадкового часу. З огляду на випадковість потоку заявок і часу обслуговування СМО завантажуються нерівномірно: у певні періоди нагромаджується дуже багато заявок (вони або стають у чергу, або залишають СМО не обслуговуваними), в інші періоди СМО працює з недовантаженням або простоює.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова ма-

тематичних моделей, що пов’язують задані умови роботи СМО з показниками її ефективності, які описують здатність цієї системи обробляти потоки заявок.

Показниками ефективності СМО є такі:

―середня кількість заявок, що їх вона обслуговує за одиницю

часу;

―середня кількість заявок у черзі;

―середній час очікування обслуговування;

―імовірність відмови (відказу) в обслуговуванні без очікування;

―імовірність того, що кількість заявок у черзі перевищує певне значення тощо.

СМО поділяються на два основні класи: СМО з відмовами і

СМО з очікуванням (чергою).

У СМО з відмовами заявка, яка надійшла в момент, коли всі канали були зайняті, отримавши відмову, залишає СМО і в подальшому процесі обслуговування не бере участі.

110