Смешанное произведение векторов

При последовательном умножении трех векторов возможны следующие случаи:

1) где λ - скаляр,

2) - двойное векторное произведение, в результате получим вектор;

3) - векторно-скалярное произведение, в результате получим число.

Смешанным произведением трех векторов называется их векторно-скалярное произведение, обозначают:

Найдем выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть тогда векторное произведение в координатах записывается в виде:

тогда скалярное произведение в координатах имеет вид:

Правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка. Итак, смешанное произведение в координатах имеет следующий вид:

Свойства смешанного произведения векторов (проверьте самостоятельно):

1)

2)

3) Пусть - некомпланарные векторы.

Построим на этих векторах параллелепипед.

Смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно, то есть, гдеS_ABCD - площадь основания.

Скалярное произведение Очевидно, что, где H высота параллелепипеда.

Итак,

или, так как

В частности, объем пирамиды, построенной на векторах равен

4) Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

- компланарные

Пример. Показать, что заданные четыре точки лежат в одной

плоскости: А(2, 0, 1); В(-3, 1, 0); С(0,1, 3); D(-4, 3, 7).

Решение.

Заданные точки лежат в одной плоскости, если три вектора также лежат в этой плоскости, то есть, если эти векторы компланарны.

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

Найдем координаты векторов:

тогда смешанное произведение равно

то есть заданные точки лежат в одной плоскости.

Пример. Найти объем пирамиды ABCD, где А(2, 0, 1); В(3, -1, 4);

C(0,-5,1); D(0,0,4).

Решение

Объем пирамиды равен

Найдем координаты векторов

тогда смешанное произведение:

Следовательно, объем пирамиды