Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда
Скалярное произведение векторов.
Определение.
Скалярным произведением векторов
и
называется число, равное произведению
длин этих сторон на косинус угла между
ними.
=
cos
Свойства скалярного произведения:
=
2;
=
0, если
или
=
0 или
= 0.
=
;
(
+
)
=
+
;(m
)
=
(m
)
= m(
);
Если
рассматривать векторы
в
декартовой прямоугольной системе
координат, то
=
xa
xb
+ ya
yb
+ za
zb;
Используя
полученные равенства, получаем формулу
для вычисления угла между векторами:
;
Пример.
Найти (5
+ 3
)(2
-
),
если
10
-
5
+
6
-
3
= 10
,
т.к.
.
Пример.
Найти угол между векторами
и
,
если
.
Т.е.
= (1, 2, 3),
=
(6, 4, -2)
=
6 + 8 – 6 = 8:
.
cos
=
Пример.
Найти скалярное произведение (3
- 2
)(5
- 6
),
если
15
-
18
-
10
+
12
= 15
+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример.
Найти угол между векторами
и
,
если
.
Т.е.
= (3, 4, 5),
=
(4, 5, -3)
=
12 + 20 - 15 =17 :
.
cos
=
Пример.
При каком m
векторы
и
перпендикулярны.
=
(m,
1, 0);
=
(3, -3, -4)
.
Пример.
Найти скалярное произведение векторов
и
,
если
(
)(
)
=
=
10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Пример. Дан треугольник АВС. где А(1, 2); В(0, 3); С(-2, -1). Найти
периметр его и угол А.
Решение
Обозначим
векторы
.
Используя скалярное произведение,
найдем
.
Координаты вектораā
находим, вычитая из координат его
конца - точки С, соответствующие
координаты начала его точки А.
Аналогично,
Найдем 
Таким
образом,
Чтобы найти периметр ΔАВС, надо найти длины всех его сторон:
Итак, периметр ΔАВС равен
Векторное произведение векторов.
Векторным
произведением векторов
называют такой вектор
,
что
1)
то есть длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах;
2)
вектор
перпендикулярен плоскости, в которой
лежат векторы
;
3)
векторы
образуют
правую - тройку, то есть вектор
направлен
так, что, если смотреть с конца вектора
,
то кратчайший поворот от
совершается
против часовой стрелки.
Векторное
произведение обозначается
или
.
Свойства векторного произведения:
1.
2.
,λ
- скаляр;
3.
Пример. Найти векторное произведение ортов (базисных векторов) i, j, k.
Решение
,
так как
аналогично
;
Согласно определению:
Векторное произведение в координатной форме.
Пусть
известны координаты векторов
,
то есть
Используя свойства векторного произведения, найдем:
Выражения в скобках можно записать с помощью определителей второго порядка (проверьте), то есть:
правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка:
Эта формула является удобной записью векторного произведения в координатах.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Из
определения векторного произведения
следует, что площадь параллелограмма,
построенного на векторах
,
равна модулю векторного произведения:
в
частности, площадь
треугольника
Одним
из физических приложений векторного
произведения является нахождение
момента силы,
возникающего при вращении твердого
тела, закрепленного в некоторой точке
А, под действием силы
,
приложенной в точке В:
Пример. Найти площадь треугольника АВС, где А (-2, 1, 0);
В (3,4, 8); С (-1,3,6).
Решение
Площадь
треугольника, построенного на векторах
и
,
равна
Найдем координаты векторов:
=(-1+2;
3-1; б-0)=(1,2,6)
=(3-(-2);
4-1; 8-0)=(5, 3, 8)
их векторное произведение равно:
Итак,
или
Пример.
Найти векторное произведение векторов
и
.
=
(2, 5, 1);
=
(1, 2, -3)
.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),
С(0, 1, 0).
(ед2).
Пример.
Доказать, что векторы
,
и
компланарны.
,
т.к. векторы линейно зависимы, то они
компланарны.
Пример.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
,
если
(ед2).