Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матемVM_Санюкевич А.В._ч

.1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

575.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

4.4 Индивидуальные задания

а) составить первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона;

б) найти приближённые значения функции y=f(x) в точках x0 +0,1 и x4 −0,1,

используя соответственно первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона;

в) используя интерполяционную формулу Лагранжа найти значение f(x2+0,1); г) сравнить интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа.

№	i	xi	yi	№	i	xi	yi	№	i	xi	yi
	0	1,0	10,914		0	2,0	1,92056		0	3,0	5,70417
1	1	1,2	10,976	2	1	2,2	2,47463	3	1	3,2	6,75055
1	2	1,4	10,999	2	2	2,4	3,13359	3	2	3,4	7,88868
	3	1,6	10,983		3	2,6	3,89347		3	3,6	9,11720
	4	1,8	10,927		4	2,8	4,75114		4	3,8	10,4350
	0	4,0	11,8411		0	5,0	20,1717		0	6,0	30,6247
4	1	4,2	13,3347	5	1	5,2	22,0940	6	1	6,2	32,9663
4	2	4,4	14,9152	5	2	5,4	24,1008	6	2	6,4	35,3911
	3	4,6	16,5818		3	5,6	26,1917		3	6,6	37,8986
	4	4,8	18,3341		4	5,8	28,3664		4	6,8	40,4892
	0	7,0	43,1622		0	8,0	57,7616		0	9,0	74,4063
7	1	7,2	42,9177	8	1	8,2	60,9276	9	1	9,2	77,9823
7	2	7,4	48,7555	8	2	8,4	64,1752	9	2	9,4	81,6378
	3	7,6	51,6755		3	8,6	67,5047		3	9,6	85,3746
	4	7,8	54,6776		4	8,8	70,9157		4	9,8	89,1928
	0	10,0	93,092		0	11,0	113,806		0	12,0	136,545
10	1	10,2	97,073	11	1	11,2	118,192	12	1	12,2	141,336
10	2	10,4	101,134	11	2	11,4	122,659	12	2	12,4	146,207
	3	10,6	105,277		3	11,6	127,207		3	12,6	151,159
	4	10,8	109,107		4	11,8	131,836		4	12,8	156,191
	0	13,0	161,305		0	14,0	188,083		0	15,0	216,876
13	1	13,2	166,890	14	1	14,2	193,680	15	1	15,2	222,876
13	2	13,4	171,774	14	2	14,4	199,358	15	2	15,4	228,957
	3	13,6	177,100		3	14,6	205,117		3	15,6	235,118
	4	13,8	182,566		4	14,8	210,956		4	15,8	241,360
	0	16,0	247,682		0	17,0	280,500		0	18,0	315,329
16	1	16,2	254,085	17	1	17,2	287,305	18	1	18,2	322,536
16	2	16,4	260,568	17	2	17,4	294,150	18	2	18,4	329,823
	3	16,6	267,131		3	17,6	301,156		3	18,6	337,190
	4	16,8	273,776		4	17,8	306,202		4	18,8	344,638
	0	19,0	352,000		0	20,0	391,013		0	21,0	431,867
19	1	19,2	359,775	20	1	20,2	399,023	21	1	21,2	440,278
19	2	19,4	367,764	20	2	20,4	407,114	21	2	21,4	446,770
	3	19,6	375,233		3	20,6	415,284		3	21,6	457,342
	4	19,8	383,083		4	20,8	423,535		4	21,8	465,995

№	i	xi	yi	№	i	xi	yi	№	i	xi	yi
	0	22,0	474,727		0	23,0	519,594		0	24,0	566,468
22	1	22,2	483,540	23	1	23,2	528,808	24	1	24,2	576,082
22	2	22,4	492,433	23	2	23,4	538,103	24	2	24,4	585,777
	3	22,6	501,407		3	23,6	547,477		3	24,6	595,553
	4	22,8	510,460		4	23,8	556,930		4	24,8	605,409
	0	25,0	615,375		0	26,0	656,227		0	27,0	719,114
25	1	25,2	625,361	26	1	26,2	676,644	27	1	27,2	729,932
25	2	25,4	635,457	26	2	26,4	687,141	27	2	27,4	740,830
	3	25,6	645,633		3	26,6	697,719		3	27,6	751,808
	4	25,8	655,890		4	26,8	708,376		4	27,8	762,867
	0	28,0	774,005		0	29,0	830,900		0	30,0	889,799
28	1	28,2	785,224	29	1	29,2	842,520	30	1	30,2	901,819
28	2	28,4	796,523	29	2	29,4	854,219	30	2	30,4	913,919
	3	28,6	807,902		3	29,6	865,999		3	30,6	926,100
	4	28,8	819,361		4	29,8	877,859		4	30,8	938,360

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Практические задачи часто приводят к необходимости дифференцирования функции, заданной таблицей. Типичным примером такой задачи является вычисление скорости и ускорения, когда закон движения определён экспериментально. Для решения такого рода задач приходится прибегать к приближенному дифференцированию. Иногда методы приближённого дифференцирования оказываются эффективными и при дифференцировании функций с достаточно сложным аналитическим выражением.

5.1 Сведения из теории

В этом параграфе мы будем решать следующую задачу: дана таблица функции, требуется построить таблицу её производной с тем же шагом.

Один из методов дифференцирования основан на замене данной функции f (x) на рассматриваемом участке [a;b] её интерполяционным полиномом

Pn (x). Тогда, предполагая, конечно, что данная функция дифференцируема, будем иметь

f ′(x) ≈ Pn′(x) (a ≤ x ≤ b), f (x) − Pn (x) = Rn (x) .				(5.1)
Отсюда погрешность первой производной
rn	(x) = f ′(x) − Pn′(x) = Rn′(x) .
1
Аналогично, для погрешности k-ой производной имеем:
r	(x) = f k (x) − P		(k ) (x) = R (k ) (x),
n		n	n
k

т.е. погрешность k-ой производной, вычисленной указанным методом, совпадает с k-ой производной остаточного члена интерполяции.

Заметим сразу же, что из малости остаточного члена интерполяции отнюдь не следует малость его производной. Поэтому погрешность приближённого

равенства (5.1), вообще говоря, больше, чем равенства

f (x) ≈ Pn (x),

т.е. чем

погрешность интерполяции.

Для вывода формул приближённого дифференцирования воспользуемся

интерполяционной формулой Ньютона

∆2 y

(x) = y

∆y

(x − x

) +

(x − x )(x − x

) +...

2!h2

(5.2)

∆n y

) .

0 (x − x )(x − x ) ... (x − x

n!hn

n−1

x − x0

Полагая в формуле (5.2)

z =

, получим

P (x) = y

+ z∆y

z(z −1)

∆2 y +

z(z −1)(z − 2)

∆3 y

+... +

(5.3)

z(z −1)(z − 2)...(z − n +1)

∆n y .

Как известно (формула произведения биномов, отличающихся лишь

вторыми членами),

z(z −1)(z − 2)...(z − m) = zm+1 − Sm(1) zm + Sm(2) zm−1 −... + (−1)m Sm(m) z ,

(5.4)

где Sm(k )

– сумма всех произведений из натуральных чисел от 1 до m по n

сомножителей. Например, для m =3 имеем

z(z −1)(z − 2)(z −3) = z4 − S3(1) z3 + S3(2) z2 − S3(3) z =

= z4

−(1 + 2 + 3)z3 + (1 2 +1 3 + 2 3)z2 −1 2 3 z = z4

−6 z3 +11z2 −6 z .

В силу (5.4) формула (5.3) даёт

P (x)

= y

+ z∆y

z2 − z

∆2 y

z3 −3z2 + 2z

∆3 y +...

(5.5)

−6 z3 +11z2

−6 z

− S(1)

zn−1 +... + (−1)n−1 S(n−1) z

∆4 y

+... +

∆n y .

n−1

Из (5.5) в соответствии с (5.1) получим формулы для приближённого дифференцирования. Имея в виду, что

dxd (Pn (x))= dzd (Pn (x)) dxdz = h1 dzd (Pn (x)),

будем иметь

′

∆y0

2z −1

∆

2 −6 z + 2

∆

3 −9z

2 +11z −3

∆

(x) ≈

+... +	nzn−1 −(n −1)Sn(1−)1 zn−2 +... + (−1)n−1 Sn(n−−11)	∆n y	.

	n!	0

Аналогично,

d 2

1 d

d 2

(Pn (x)).

Pn (x) =

Pn (x)

(x)

h dz

′′

+ (z −1)∆

y0 +

6 z2

−

18z

+11

∆

Следовательно, f (x) ≈

+... +

n(n −1)zn−2 −(n −1)(n − 2)Sn(1−)1 zn−2

+... + (−1)n−2 2Sn(n−−1

∆n y

и т.д.

Поскольку каждое табличное значение можно посчитать за x0, то для

табличных точек имеем: x = x0 ,

z =0 и, следовательно,

f ′(x0 ) ≈

−

∆

−... + (−1)

n−1

∆

(5.6)

∆y0

Аналогично,

(n−2)

f ′′(x0 ) ≈

∆2 y0

− ∆3 y0

∆4 y0 +

... + (−1)n−2 2Sn−1

∆n y0 .

(5.7)

Заметим, наконец, что погрешность разностей быстро растёт с ростом их порядка. Поэтому в формулах (5.6), (5.7) и. т.д. не имеет смысла удерживать много слагаемых. Полагая, n = k +1 получим рабочие формулы для численного дифференцирования

′

′′

∆y0

−

∆

− ∆

(5.8)

(x0 ) ≈

y0 .

5.2Порядок выполнения работы

1.По заданным значениям функции y = f (x) найти её первую и вторую

производные в заданной точке по формулам (5.8).

2. Оценить ошибку при вычислении первой производной по формуле (5.8).

Пример 5.1. В

точке x =0,525

найти

первую производную функции,

заданной таблицей:

∆y

∆2 y

∆3 y

0,525

0,50121

0,00087

0,00001

0,00002

0,526

0,50208

0,00086

-0,00001

0,527

0,50294

0,00087

0,528

0,50381

Решение. По

формуле (5.8) получим

′

1000 [0,00087 −0,5 0,00001] =0,86 .

(0,525) ≈

Для оценки ошибки при вычислении первой производной по формуле (5.8)

пользуются практической формулой

(x )

≤

∆n+1 y

0 .

n +1

Для рассмотренного примера имеем

(0,525)

≤1000 0,00002 / 3 =0,007 .

На самом деле ошибка меньше. В рассмотренном примере таблицей задана функция y = sin x : f ′(0,525) = cos0,525 ≈0,86532 .

5.3 Индивидуальные задания

Таблицы заданных значений функций представлены в предыдущей лабораторной работе.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

∫b f (x)dx = F(b) − F(a) , где f(x) непрерывная на [a;b] функция, практически не

всегда возможно. Может случиться, что первообразная F(x) не выражается через элементарные функции или через другие достаточно изученные функции, либо выражается слишком сложно. В этих случаях приходится обращаться к методам приближённого интегрирования, т.е. к методам, позволяющим найти численное значение определённого интеграла приближённо с любой степенью точности. Рассмотрим простейшие из этих методов.

6.1 Метод прямоугольников

Метод прямоугольников основан на определении определённого интеграла и его геометрическом значении. Вспомним:

b	n−1
∫ f (x)dx = n→∞lim ∑ f (ξk )∆xk .
a	max ∆xk →∞ k =0

Существенно, что предел (интеграл) не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от правила выбора точек ξ0 , ξ1 ,…, ξn−1 на отрезках разбиения.

Практически, удобно отрезок [a;b] делить на равные части, а в качестве точек ξ0 , ξ1 ,…, ξn−1 брать левые (или правые) концы отрезков разбиения. Тогда все

∆x	одинаковы и равны h = b −a		. Обозначая y	k	= f (x ) , получим
k		n		k	k
	∫a	n
	∫a	f (x)dx ≈ h(y0	+ y1 +... + yn−1 )		, где h = b −a .	(6.1)
	b				n

Правая часть формулы представляет собой площадь ступенчатой фигуры, состоящей из заштрихованных прямоугольников. Формула (6.1) называется формулой левых прямоугольников.

Существует ещё формула правых прямоугольников

∫a	f (x)dx ≈ h(y1 + y2	+... + yn ) , где h = b −a .	(6.2)
b		n

Правая часть формулы (6.2) представляет собой площадь ступенчатой фигуры, состоящей из заштрихованных прямоугольников.

Геометрически вычисление площади по этим формулам изображено на рисунке 6.1 (формула левых прямоугольников) и на рисунке 6.2 (формула правых прямоугольников).

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Точное значение определённого интеграла от монотонной функции заключено между двумя значениями, получающимися по формулам (6.1) и

(6.2).

6.2 Метод трапеций

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (6.1) и (6.2). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования ведёт к усложнению расчётов. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе разбиений.

Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое

a	n-1	yk + yk+1
правых частей формул (6.1) и (6.2): ∫ f (x)dx ≈ b −a ∑		yk + yk+1	.
правых частей формул (6.1) и (6.2): ∫ f (x)dx ≈ b −a ∑			.
b	n k=0	2

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна

b − a	yk + yk +1	,	и,
n	2

следовательно, данная формула представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (см. рис 6.3)

Рис. 6.3 Приведя в формуле (6.3) подобные члены, окончательно получим:

	a		b − a	y			y
	∫ f	(x)dx ≈		0	+ y1 + y2 +... + yn−1 +			n		=
	∫ f	(x)dx ≈	n	2	+ y1 + y2 +... + yn−1 +					=
	b		n	2			2			(6.3)
b − a		+ y2 +... + yn−1 )+ yn )= h								(6.3)
b − a	(y0 + 2(y1	+ y2 +... + yn−1 )+ yn )= h				(y0 + 2(y1 + y2			+... + yn−1 )+ yn ),
2n					2

где h = b −n a .

6.3 Метод парабол (Симпсона)

Значительное повышение точности приближённых формул достигается при повышении порядка интерполяции. Одним из таких методов является метод Симпсона. Формула парабол имеет вид:

f (x)dx ≈ h y

(

2n−1 )

(

2n−2 )

∫

+ 4

+ y

+... + y

+ 2

+ y

+... + y

+ y

(6.4)

где h = b − a .

Правая часть формулы

парабол выражает площадь

фигуры, составленной из

параболических трапеций

x0 M0 M2 x2 , x2 M2 M4 x4 и т.д.

Дуга M0 M1M2

графика

подынтегральной функции

заменена дугой параболы,	Рис. 6.4

проходящей через точки M0 , M1 , M2 . Аналогичная замена произведена для других дуг.

6.4 Оценка погрешностей

Абсолютные погрешности методов определяются следующими формулами:

метод прямоугольников:

метода трапеций:

метода парабол:

Rn ( f )

≤

(b − a)2

M , где M = max

f ′(x)

;

a≤x≤b

≤

(b − a)3

M , где M = max

f ′′(x)

;

12n2

a≤x≤b

≤

(b − a)5

M , гдеM = max

f IV (x)

180(2n)4

a≤x≤b

Замечание: В оценке погрешностей метода парабол фигурирует f IV .

Отыскать её значение иногда оказывается затруднительным. Поэтому весьма удобным способом оценки точности результата является контрольный просчёт по той же формуле, но с удвоенным шагом (с уменьшенным в два раза числом отрезков разбиения).

						1		dx
	Пример 6.1. Вычислить интеграл I = ∫0							dx		, взяв n=2m=8.
	Пример 6.1. Вычислить интеграл I = ∫0							1 + x2		, взяв n=2m=8.
	Решение. Здесь h = 1 −0 =0,125					. Заполним расчётную таблицу:
				8									Таблица 6.1
													Таблица 6.1
			Расчетная таблица								Контрольная таблица
											Контрольная таблица

						1						1
						yk =						yk =
k		xk	2	2		yk =	1 + x2					yk =	1 + xk2
k		xk	xk	1 + xk					k			1
									k			1
					k=0	при k –			при k –		k1=0	k1=2+4k		k1=4k
					k=8	нечетном			четном		k1=8	k1=2+4k		k1=4k
0		0	0	1,00000	1						1
1		0,125	0,01562	1,01562		0,98462
2		0,250	0,06250	1,06250					0,94117			0,94117
3		0,375	0,14062	1,14062		0,87671
4		0,500	0,25000	1,25000					0,80000					0,8
5		0,625	0,39062	1,39062		0,71910
6		0,750	0,56250	1,56250					0,64000			0,64000
7		0,875	0,76563	1,76562		0,56637
8		1	1	2	0,5						0,5
			Сумма		1,5	3,14680			2,38117		1,5	1,58117		0,8

По формулам прямоугольников, пользуясь результатами вычислений, получаем

			1
Iл.пр =0,125			∑yk ≈0,125 (1 + 3,14680 + 2,38117) =0,815996 ,
			k =0
			8
Iпр.пр. =0,125		∑yk		≈0,125 (3,14680 + 2,38117 +0,5) =0,753496 .
			k =1
По формуле трапеций имеем
Iтр	≈0,125			1 +0,5	+ 3,14680
Iтр	≈0,125			2	+ 3,14680	+ 2,38117 =0,784746 .
				2

И, наконец, по формуле Симпсона

Iсимп ≈ 0,1253 (0,5 +1 + 4 3,14680 + 2 2,38117)=0,785397 .

Оценим погрешность, возникающую при использовании, например, формулы Симпсона. Для этого наряду с основным расчётом с шагом h выполняем контрольный расчёт с удвоенным шагом h1 = 2h =0,25

(см. таблицу 6.1). Значения yk, для контрольной таблицы берём из основной таблицы. Подставляя результаты вычисления контрольной таблицы в формулу (6.4), получаем для h1=0,25

Iсимп ≈ 0,325 (1 +0,5 + 4 1,58117 + 2 0,8)=0,785390 .

Сравнивания результаты вычислений с шагом h=0,125 и h1=0,25, замечаем, что в обоих результатах совпадают первые 6 значащих цифр. Можно доказать, что погрешность формулы Симпсона пропорциональна h4, т.е. при уменьшении шага в два раза, погрешность уменьшается в 16 раз. Поэтому следует ожидать, что результат основного расчёта имеет, по крайней мере, 6

1	dx
верных цифр, т.е. ∫0	dx	≈0,78539			с точностью 0,000005.
верных цифр, т.е. ∫0	1 + x2	≈0,78539			с точностью 0,000005.
Замечание. Вычислим непосредственно
	1		dx			1	π
	1		dx			1	π
		∫		= arctg x		=	4	≈0,785398 .
		∫	1 + x2	= arctg x		=	4	≈0,785398 .
	0					0
	0					0

Нетрудно заметить, что формула Симпсона при той же затрате труда, даст более точный результат.

Порядок выполнения работы

1.Разбить отрезок интегрирования на n = 2m =12 частей и заполнить основную часть расчётной таблицы.

2.Найти приближённое значение определённого интеграла по формулам (6.1), (6.2), (6.3), (6.4) для n = 2m =12.

3.Для оценки точности полученного результата выполнить контрольный расчёт с удвоенным шагом, т.е. для h1 = b 6− a .

6.5 Индивидуальные задания

Вычислить определенный интеграл тремя методами. Оценить погрешности каждого метода и сравнить полученные результаты.

	1,2																	4,2
1.	∫		1 + 4x2						+ x4 dx								2.	∫			0,3 + 2x + 3x3 dx
	0																	3
	1,4																	3,2
3.	∫			1 + 2x + 3x3 dx													4.	∫			1 + 2x2										+ 3x4 dx
	0,2																	2
	5,2																	5,2
5.	∫			3x + x2 + x4 dx													6.	∫			0,1 + 3x + 2x3 dx
	4																	4
	1,4																	2,6
7.	∫				x + 5x4					dx							8.	∫				1 + x + x3											dx
	0,2																	1,4

	2,2																	0,2
9.	∫				3 + 2x + x3 dx												10.	∫			2 + x2								+ 2x4 dx
	1																	1
	−0,8																	1,2
11.	∫					3 + x2		+ 3xdx									12.	∫			2 + x + x3 dx
	−2																	0
	2,2																	3,2
13.	∫				x + x2			+ 2x4 dx									14.	∫			1 + 2x2										+ 3x4 dx
	1																	2
	3,2																	2,2	(x +							0,8)					2
15.	∫			0,5 + 3x2									+ x3 dx				16.	∫	(x +							0,8)						dx
15.	∫			0,5 + 3x2									+ x3 dx				16.	∫						x		2						dx
	2																	1						x		+1
	0,7																	0,2									xdx
	0,7						x2 +1											0,2
17.	−0∫,5						x2 +1						dx				18.	−∫1
																			(1 − x)
			(x +0,7)2																(1 − x)										1 + x2
	1,8	(				1 +0,5x2							)		dx			2,4	(	1 +1,2x2												)		dx
19.	∫	(											)				20.	∫	(													)

		1 + 0,8x									2	+1,4							0,8 x									2	+			1,3
	0,6	1 + 0,8x										+1,4						1	0,8 x										+			1,3
	2				(1 +0,7 x2 )dx													2					(1 +1,5x2 )dx
21.	∫																22.	∫

		1,5					+ 2x				2		+0,3						0,7						+ 2,2x											2		+0,5
	0,8	1,5					+ 2x						+0,3					0,8	0,7						+ 2,2x													+0,5
	2,5	(			1 +0,6 x2							)		dx				1,7					(		1 +0,3x2													dx
23.	∫	(										)					24.	∫					(													)

		0,9					+ x		2		+1,5								1,2						+ 0,6 x											2
	1,3	0,9					+ x				+1,5							0,5	1,2						+ 0,6 x												+1,2
	1,9		(1 +1,5x2 )dx															2,1			(1 +0,9x2 )dx
25.	∫																26.	∫

		0,5					+ x		2		+0,8								1,3						+ 0,5x										2		+1
	0,7	0,5					+ x				+0,8							0,9	1,3						+ 0,5x												+1
	2,2					(	1 +0,6 x2									dx		2,3		(			1 +0,7 x2										)			dx
27.	∫					(								)			28.	∫		(													)

		1,5					+ 0,4x							2					0,4						+ x					2		+1,5
	1	1,5					+ 0,4x								+ 2,5			0,8	0,4						+ x							+1,5

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.12.2018215.55 Кб4ЛР№5.doc
#
19.08.2019484.86 Кб1марк в агро.doc
#
21.09.2019116.44 Кб2Маркетинг_МА-33.docx
#
20.09.2019426.5 Кб3маркировка!.doc
#
19.11.2019120.83 Кб4Масштаб.doc
#
01.03.2016575.29 Кб13матемVM_Санюкевич А.В._ч.1.pdf
#
01.03.2016721.03 Кб12матемVM_Санюкевич А.В._ч.2.pdf
#
01.03.2016510.45 Кб28Математическая статистика.pdf
#
19.07.2019283.14 Кб8материаловедение.doc
#
26.09.2019664.58 Кб72Мелиорация и водное хозяйство. Введение в специ...doc
#
25.04.2019113.71 Кб8Мелкие.docx