21. Свойства степенных рядов.
Теорема 1(характер сходимости степенного ряда):
Степенной
ряд равномерно
сходится на любом промежутке [a,b]
целиком принадлежащем интервалу
сходимости, т.е. [a,b]
лежит
в интервале сходимости.
Теорема 2:
Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку [a,b] целиком лежащему в интервале сходимости.
Теорема 3:
Степенной ряд можно почленно диференцировать в любой точке, лежащей в интервале сходимости.
Следствие:
Степенной ряд можно почленно дифф-ть сколько угодно раз в любой точке принадлежащей интервалу сходимости.
20.Степенные ряды.Теорема Абеля.
Степенным рядом (или рядом по степеням х) наз ряд вида:
…
…=
Теорема Абеля:
пусть
в точке
сходится,
причём
,
тогда
, удовлетворяющих условию |x|<|
|
Следствие:
Если
степенной ряд расходится в некоторой
точке
,
то он расходится во всех точках,
удовлетворяющих условию |x|>|
|
19.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерносходящихся рядов.
Функциональный ряд – ряд , члены которого являются функциями.
Ряд равномерно сходится, если:
1.
Сходится для любых
2.
для любых ε>0 любых N>0
не зависимо от х, что |
|=
люб.x>N
и люб.
Признак Вейерштрасса(достаточный признак сходимости):
Пусть
члены функционального ряда определены
на множестве
и
при люб.
,
где
-
члены сходящегося ряда
,
тогда данный функциональный ряд является
абсолютно и равномерно сходящимся.
Свойства:
Теорема 1:
Если функциональный ряд равномерно сходится на Х, лежащем в R, и члены ряда непрерывны на Х, то сумма этого ряда – непрерывная функция на всём Х.
Теорема 2:
Равномерно сходящийся на [a,b] ряд из непрерывных функций можно почленно интегрировать.
Теорема 3:
Пусть для данного функционального ряда :
1)
дифференцируема на[a,b]
при люб. n
2)
неопр. на[a,b]
3)
на[a,b]
Тогда
данный ряд можно почленно дифференцировать
в любой точке х
