8* Приложения тройного интеграла — объемы тел, масса тел, центр тяжести
9* Криволинейный интеграл 1-го рода (КрИ-l): определение, свойства, вычисление, приложения
Рассмотрим в пространстве кривую АВ. Разобьем ее на точки. Найдем значение функции в каждой точке. Просуммируем. Рассмотрим предел. Если предел существует и конечный, то он называется КрИ1.
Теорема.
Если
функция
непрерывна, а кривая гладкая или
кусочногладкая, то для таких функций
и кривых существует КрИ1.
1)КрИ1 не зависит от направления интегрирования.
2)Если
для
по прямой АВ
3)Постоянный множитель выносится за знак интеграла
4)Если АВ разбить точкой С на 2 части, то (АВ=АС+ВС)
1*
Если кривая задана уравнениями
2* Если в полярной системе:
3*
10* Криволинейный интеграл 2-го рода (КрИ-ll): определение, свойства, вычисление, приложения
Рассмотрим в пространстве кривую АВ. Разобьем ее на точки. Найдем значение функции в каждой точке. Просуммируем. Рассмотрим предел. Если предел существует и конечный, то он называется КрИ2.
Теорема.
Если
функция
непрерывна, а кривая гладкая или
кусочногладкая, то для таких функций
и кривых существует КрИ2.
1)Если поменять направление, то КрИ2 изменит знак.
2)Если
для
по прямой АВ
3)Постоянный множитель выносится за знак интеграла
4)Если АВ разбить точкой С на 2 части, то (АВ=АС+ВС)
1*
Кривая задана уравнением y = f(x), x
изменяется от
до
.
2*
Кривая задана параметрически: x
= x(t),
y
= y(t),
t
от
до
.
11* КрИ-ll по замкнутому контуру. Формула Грина. Независимость КрИ-ll от формы пути интегрирования
Движение точки по замкнутому контуру положительное, если при движении точки ограниченная область находится слева.
Теорема. Пусть плоская область D разбита на 2 области D1 и D2, причем L, L1,L2 – контуры, ограничивающие эти области.
Интеграл по контуру, ограничивающему область = сумме интегралов по контурам, ограничивающим составные части.
Теорема. Пусть P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области D, тогда:
Лемма. Для того, что бы КИ не зависел от формы пути интегрирования, НиД что бы КИ по любому замкнутому контуру (в области D) был равен нулю.
Теорема. Пусть P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области D. Тогда, для того что бы КИ не зависел от формы пути интегрирования НиД что бы во всех точках области выполнялось:
12* Общие понятия числового ряда. Геометрическая прогрессия и гармонический ряд
***Частичной
суммой ряда называется сумма первых n
членов:
.
***Если
,
то ряд сходится и ему приписывают сумму
S.
Если этот
или =
,
то ряд расходится
13* Основные свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости рядов
Š1* Если все члены сходящегося ряда с суммой S умножить на число k, то преобразованный ряд тоже будет сходиться, а его сумма kS
Š2* Даны 2 сходящихся ряда. Ряд полученный почленным сложением (вычитанием) тоже сходится
Š3* Если числовой ряд сходится, то сходится и ряд полученный из данного отбрасыванием или присоединением конечного числа членов
Š4* Если сходится ряд, то сходится и любой из его остатков, и наоборот
Š5* Если ряд сходится, то предел остатка =0
Необходимый признак сходимости ряда:
Если ряд сходится, то предел общего члена =0