11. Эквивалентность пар. Теорема об эквивалентности пар.

Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.

Существует две теоремы об эквивалентности пар:

Теорема 1. ( Об эквивалентности пар на плоскости ). Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны.

Теорема 2. ( Об эквивалентности пар в пространстве ). Две пары, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны.

Вопрос 12

Докажем лемму: Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Пусть в точке А твердого тела приложена сила F Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F' и F²-, эквивалентную нулю, причем выбираем F'=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F', F"), так как (F',F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F', F") эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M_B(F). Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

Вопрос 13

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки взятое со знаком плюс или минус. Плечом h силы   относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т.е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы  . Обозначим Мо( ) или Мо алгебраический момент силы  относительно точки О. Тогда:Мо( ) = ±Fh.Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берём знак плюс, если по часовой стрелке – знак минус.Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину. (в СИ Н*м). Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль её линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по величине, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе   и моментной точке: Мо( ) = ±2 пл. ▲±ОАВ.

Впрос 14

Теорема Пуансо. Силу, приложенную к твердому телу, можно из данной точки, не изменяя ее действия, перенести параллельно самой себе в любую другую точку тела (или пространства), прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую она переносится. Точку, к которой приводят систему сил, называют центром приведения данной системы сил. 

Осн теор статики (теорема Пуансо): Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения. Пусть О — центр приведения, принимаемый за начало коорди­нат, r₁,r₂, r₃,…, r_n–соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил F₁, F₂, F₃, ...,F_n, составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Перенесем силы F₁, F_a, F₃, ..., F_n в точку О. Сложим эти силы как сходящиеся; получим одну силу: F_о=F₁+F₂+…+F_n=åF_k, которая равна главному вектору (рис. 4.2, б). Но при последователь­ном переносе сил F₁, F₂,..., F_n в точку О мы получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁, F”₁), (F₂,F”₂),...,(F_n, F"_n).Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки О: М₁=М(F₁,F”₁)=r₁ x F₁=М_о(F₁), М₂=М(F₂, F”₂)=r₂ x F₂=М_о(F₂), …, М_п=М(F_n, F"_n)=r_n x F_n=М_о(F_n). На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки О, т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в) М₀=М₁+М₂+...+М_n=М_о(F₁)+М_о(F₂)+…+ М_о(F_n)==åМ_о(F_k)=år_k x F_k. Систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой F_o=åF_k (4.2) и парой сил с моментом M₀=åM₀(F_k)=år_k x F_k. (4.3). В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент.