III к. - Методы математической физики / Методические указания / Кошевский В.В / Метод Фурье
.pdf
Задача 7. |
utt′′ = a2u′′xx , x ]0,l[, t > 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
u |
|
x=0 |
= u |
|
x=l = 0, u |
|
t=0 = |
x(l − x) |
, ut′ |
|
t=0 = 0. |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8l |
|
|
|
|
|
||
Задача 8. utt′′ = a2u′′xx , x ]0,l[, t > 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||
u |
|
|
= u |
|
x=l = 0, u |
|
t=0 = Asin |
πnx |
, ut′ |
|
t=0 = 0. |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
x=0 |
|
|
l |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 9. utt′′ = u′′xx , x ]0,l[, t > 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||
ut t=0 = 0, ut′t=0 = 0, u x=0 = 0, u′x x=l =α , α .
Задача 10. utt′′ = a2u′′xx − g , x ]0,l[, |
t > 0, g . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
x=0 = u |
|
x=l = 0, u |
|
t=0 = x, ut′ |
|
t=0 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Задача 11. ut′ |
= u′′xx , x ]0,1[, t > 0, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
x=0 |
= u |
|
|
x=1 |
|
= 0, u |
|
|
t=0 |
|
= x2 |
−1. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 12. ut′ |
= a2u′′xx , |
x ]0,l[, t > 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
= 0, u |
|
|
|
|
|
|
= Ae−t , u |
|
|
= Ax . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=0 |
|
|
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 13. ut′ |
= a2u′′xx −u , x ]0,l[, |
t > 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
x=0 |
= u |
|
x=l = 0, u |
|
t=0 =1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Задача 14. ut′ |
= a2u′′xx −4u , x ]0,π[ , t > 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
x=0 |
= u |
|
x=π |
|
= 0, u |
|
t=0 |
|
= x2 −πx. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 15. ut′ |
= u′′xx , x ]0,l[, t > 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
u′x |
|
x=0 =1, u |
|
x=l = 0, u |
|
t=0 = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 16. ut′ |
= a2u′′xx , |
x ]0,l[, t > 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
x=0 |
= At , u |
|
x=l = 0, u |
|
t=0 = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 17. Найти распределение температуры внутри бесконечного цилиндра, если на поверхности цилиндра поддерживается нулевая
температура, а температура внутри цилиндра в момент времени t = 0 равна
|
|
|
|
( |
0) |
r |
|
|
u |
|
t=0 |
= A J |
µk |
|
|
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
где µk(0) - положительный корень уравнения
J0 (µ) = 0 .
Задача 18. Найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике D : (0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b ),
удовлетворяющее условиям:
u |
|
|
= A, u |
|
|
= Ay, ∂u |
|
|
= 0, ∂u |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
x=0 |
|
|
x=a |
∂y |
|
y=0 |
∂y |
|
y=b |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 19. Найти гармоническую функцию внутри кругового сектора 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ϕ ≤α < 2π
по граничным условиям:
u(r,0) = u(r,α) = 0, u(R,ϕ) = Aϕ.
Задача 20. Найти решение уравнения Лапласа в кольце a ≤ r ≤ b, если
u r=a = 0, u r=b = Asin3 ϕ + B .
Задача 21. Показать, что функция
Jn (x) = π1 π∫cos(xsinϕ −nϕ)dϕ
0
при целом n удовлетворяет уравнению Бесселя.
Задача 22. Показать, что
Jn (x) <1, n = 0, ±1, ±2,....
Задача 23. Доказать, что
∞ |
|
1 |
|
|
|
∫e−ax J0 (x)dx = |
|
|
, (a > 0 , b > 0 ). |
||
a |
2 |
+b |
2 |
||
0 |
|
|
|
||
Задача 24. Доказать, что
J 3
2
|
2 |
sin x |
|
||
(x) = |
|
|
|
x |
−cos x . |
|
|
||||
|
πx |
|
|||
Задача 25. Показать, что
а) Jn−1 (x) + Jn+1 (x) = 2xn Jn (x), б) J0′(x) = −J1 (x).
Задача 26. Показать, что функция Бесселя мнимого аргумента
Iγ (z) ≡ i−γ Jγ (iz) , i2 = −1,
удовлетворяет уравнению
z2 w′′(z) + zw′(z) −(z2 +γ 2 )w(z) = 0.
Кашевский В. В.