Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
70
Добавлен:
01.03.2016
Размер:
244.85 Кб
Скачать

БЕЛОРУСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАЧИ

по курсу “Методы математической физики” (тема “метод Фурье”)

для студентов специальностей 2016, 0704

1

= A1 (t)

§ 1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА ФУРЬЕ

Рассмотрим общую схему метода разделения переменных (метода Фурье) на примере следующего уравнения:

A(x)

где x [0,l], t > 0.

2u + x2

2u t2

B(x)

u +C(x)u =

 

 

x

(1.1)

 

(t) u

+ B

+C (t)u

1

 

t

1

Будем

в уравнении (1.1)

предполагать,

что

A(x) > 0.

Кроме

того,

рассмотрим

две

возможности:

 

 

 

1)A1 (t) > 0 (гиперболический случай).

2)A1 (t) 0, B1 (t) > 0 (параболический случай).

Метод Фурье применяется при построении решений смешанной задачи для уравнения (1.1).

Смешанная задача для уравнения (1.1) ставится так: требуется найти решение u = u(x,t),

x [0,l], t > 0

уравнения (1.1),

удовлетворяющее

краевым условиям

 

 

 

a u (0,t) +b u(0,t) = 0; a

u

(l,t) +b u(l,t) = 0 (1.2)

1 x

1

2 x

 

2

где t > 0; a1, a2 , b1 , b2 - некоторые действительные

числа. Также данное решение должно удовлетворять следующим начальным условиям:

u(x,0) =ϕ(x); u (x,0) =ψ(x); x [0,l]

(1.3)

t

 

в гиперболическом случае, соответственно:

(1.4)

u(x,0) =ϕ(x); x [0,l]

в параболическом случае.

Условия (1.1)-(1.4) предполагаем согласованными, а функции ϕ, ψ , ϕ считаем

достаточно гладкими, в противном случае полученное решение будет обобщённым. Будут рассмотрены также примеры неоднородных уравнений и неоднородных граничных условий.

Теперь изложим кратко метод Фурье (метод разделения переменных) для задачи (1.1)-(1.4). Вначале ищутся нетривиальные решения u = u(x,t) следующего вида:

u(x,t) = X (x)T (t)

Подставив (1.5) в уравнение (1.1) условие (1.2), получим соотношение

A(x) X ′′(x) + B(x) X (x) +C(x) X (x)

X (x)

A1 (t)T ′′(t) + B1 (t)T ′+C1 (t)T (t) = −λ

T (t)

(1.5)

и краевое

=

(1.6)

где λ - постоянная, а из (1.2) получаем условия

a1 X (0) +b1 X (0) = 0; a2 X (l) +b2 X (l) = 0

(1.7)

Из (1.6) и (1.7) находим

(1.8)

A(x) X

′′

(x) + B(x) X (x) +(C(x) +λ) X (x) = 0

A1 (t)T ′′(t) + B1 (t)T ′+(C1 (t) +λ)T (t) = 0

(1.9)

Теперь отметим важный момент. Нам нужны

функции X = X (x)

и T =T (t) отличные

от

тождественного нуля (нетривиальные решения). Для этого надо сначала найти те действительные числа λ, при которых краевая задача (1.7)-(1.8) имеет нетривиальные решения. Такие числа λ

называются собственными значениями задачи (1.7)-(1.8), а соответствующие им решения называют собственными функциями.

Заметим, что задачу (1.7)-(1.8) называют задачей Штурма-Лиувилля (задача Ш.-Л.). Наиболее распространён случай, когда задача Штурма-Лиувилля имеет счётное множество собственных значений {λk , k =1, 2,...}, причём

λ1 < λ2 <... < λn <..., lim λn = +∞,

n→∞

а соответствующая счётная система линейно независимых собственных функций

X1 (x), X 2 (x),, X n (x),

является ортогональной.

Напомним, что система функций является ортогональной, если

l

Xi (x) X j (x)dx = 0, i j.

0

 

Теперь нужно найти общее решение уравнения (1.9) для каждого собственного значения λ = λk , k =1, 2,....

В гиперболическом случае (A1 (t) > 0) общее

решение уравнения (1.9) может быть представлено в виде

Tk (t) = AkTk (t) + BkTk (t),

где Ak , Bk - произвольные действительные

постоянные, а функции Tk , Tk - решения

уравнения (1.9), удовлетворяющие условиям

Tk (0) =1,Tk(0) = 0; Tk (0) = 0,Tk(0) =1.

При A1 (t) 0, B1 > 0 (параболический случай)

общее решение уравнения (1.9) (для λ = λk ) имеет

вид:

Tk (t) = CkTk (t),

где Ck

-

произвольная действительная

постоянная, а частное решение

T =Tk (t)

уравнения (1.9)

удовлетворяет условию Tk (0) =1.

По принципу суперпозиции функция

 

 

 

 

 

 

 

u(x,t) = Tk (t) X k (x)

 

(1.10)

 

 

k =1

 

 

будет классическим решением задачи (1.1)-(1.2), если ряд (1.10) сходится и его можно дважды дифференцировать. Так как должны ещё выполняться начальные условия (1.3) или (1.4), то в гиперболическом случае получаем:

 

Ak X k (x) =ϕ(x);

(1.11)

k =1

 

Bk X k (x) =ψ(x); x [0,l],

 

k =1

 

а в параболическом случае

 

 

Ck X k (x) =ϕ(x); x [0,l].

(1.12)

k =1

 

По предположению система

собственных

функций {X k } является ортогональной. Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

X k

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

X k

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ck =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X k

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

X k

 

 

 

2 = l

( X k (x))2 dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l ϕ(x) X k (x)dx,

0

(1.13)

l

ψ(x) X k (x)dx,

0

 

l

ϕ(x) X k (x)dx,

(1.14)

0

 

 

0

(α, β)

Подставляя (1.13) или (1.14) в (1.10), получим искомое решение смешанной задачи в гиперболическом или параболическом случае.

Заметим, что методом Фурье можно решать и некоторые эллиптические краевые задачи. Далее мы приведём соответствующие примеры.

§2. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Задача 1.

Однородная струна длиной l натянута между точками x = 0 и x = l . На участке струны её

точкам придана постоянная начальная скорость υ0 (этого можно добиться, ударяя по струне

плоским жёстким молоточком). Найти колебания струны в любой момент времени.

Решение. Задача сводится к решению однородного уравнения

2u

= a2 2u

(2.1)

t2

x2

 

с граничными

u

 

x=0 = u

 

x=l = 0

(2.2)

 

 

 

 

 

и начальными

 

 

 

 

u

 

 

 

0,

 

 

 

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

t=0

t

 

 

=ψ0

(x) = υ0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t=0

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x <α,

α < x < β,

(2.3)

β < x l.

 

условиями.

 

( A(x) 1,

 

,

По общей

схеме §1

A (t) a2

 

 

 

1

 

B(x) C(x) 0,

B1 (t) C1 (t) 0 ,

a1 = a2 = 0,

ϕ(x) 0,

ψ(x) ψ0 (x)) получим задачу Ш.-Л. (см. (1.7), (1.8))

′′

(2.4)

X (x) +λX (x) = 0,

X (0) = 0, X (l) = 0.

(2.5)

Рассмотрим три случая.

а) λ < 0.

Общее решение уравнения (2.4) имеет в этом случае вид

X (x) = C1e λx +C2e− −λx

Из условий (2.5) вытекает, что

C1 +C2

= 0,

 

C = 0,

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

+C

 

= 0.

C el λ

el λ = 0.

C2

 

1

 

2

 

 

 

 

 

Итак, λ < 0

-

не является

 

 

собственным

значением задачи Ш.-Л. (2.4)-(2.5)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

б) λ = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом

случае

 

уравнение

(4)

имеет вид

′′

 

= C1 +C2 x ,

 

 

 

 

X (x) = 0, т.е. X (x)

 

 

 

 

а из условий (2.5) получим

C1 = 0,

C2 = 0.

Следовательно, λ = 0 - не является собственным

значением.

в) λ > 0.

Общим решением уравнения (2.4) в этом случае будет

X (x) = C1 sin λx +C2 cos λx,

а условия (2.5) дают систему

C

2

= 0,

 

 

C

2

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λl +C

cos λl = 0.

 

 

 

 

C sin

C sin λl = 0.

 

1

 

2

 

 

1

 

Так как C1 0 (иначе X (x) 0 ), то

sin λl = 0 λl =πk; k =1, 2,...

откуда находим собственные значения,

λk = πlk 2 , k =1, 2...

и линейно независимые собственные функции

X k (x) = sin

πkx

, k =1, 2...

 

l

 

задачи (2.4)-(2.5). Из теории рядов Фурье следует, что система функций {X k (x)} -

ортогональная и полная на отрезке [0,l] причём

X k 2 = 2l .

Дифференциальное уравнение для функции T =T (t) имеет вид

T ′′(t) +a2λkT (t) = 0.

Его общим решением является

T

(t) = A

cos akπ t + B

sin akπ t.

k

k

l

k

l

 

 

 

Решением задачи (2.1)-(2.3) будет (см. §1) функция

 

 

 

akπ

t + Bk

sin

akπ

 

kπ

x.

 

 

u(x,t) = Ak cos

l

l

 

t sin

l

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что

T

(t) = cos akπ t ,

а

T

(t) = akπ sin akπ t

 

 

k

 

 

l

 

k

 

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(см. §1).

По формулам (1.13) §1 получаем