III к. - Методы математической физики / Методические указания / Кошевский В.В / Метод Фурье
.pdfБЕЛОРУСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАЧИ
по курсу “Методы математической физики” (тема “метод Фурье”)
для студентов специальностей 2016, 0704
1
§ 1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА ФУРЬЕ
Рассмотрим общую схему метода разделения переменных (метода Фурье) на примере следующего уравнения:
A(x)
где x [0,l], t > 0.
∂2u + ∂x2
∂2u ∂t2
B(x) |
∂u +C(x)u = |
||
|
|
∂x |
(1.1) |
|
(t) ∂u |
||
+ B |
+C (t)u |
||
1 |
|
∂t |
1 |
Будем |
в уравнении (1.1) |
предполагать, |
что |
|
A(x) > 0. |
Кроме |
того, |
рассмотрим |
две |
возможности: |
|
|
|
1)A1 (t) > 0 (гиперболический случай).
2)A1 (t) ≡ 0, B1 (t) > 0 (параболический случай).
Метод Фурье применяется при построении решений смешанной задачи для уравнения (1.1).
Смешанная задача для уравнения (1.1) ставится так: требуется найти решение u = u(x,t),
x [0,l], t > 0 |
уравнения (1.1), |
удовлетворяющее |
||
краевым условиям |
|
|
|
|
a ∂u (0,t) +b u(0,t) = 0; a |
∂u |
(l,t) +b u(l,t) = 0 (1.2) |
||
1 ∂x |
1 |
2 ∂x |
|
2 |
где t > 0; a1, a2 , b1 , b2 - некоторые действительные
числа. Также данное решение должно удовлетворять следующим начальным условиям:
u(x,0) =ϕ(x); ∂u (x,0) =ψ(x); x [0,l] |
(1.3) |
∂t |
|
в гиперболическом случае, соответственно: |
(1.4) |
u(x,0) =ϕ(x); x [0,l] |
в параболическом случае.
Условия (1.1)-(1.4) предполагаем согласованными, а функции ϕ, ψ , ϕ считаем
достаточно гладкими, в противном случае полученное решение будет обобщённым. Будут рассмотрены также примеры неоднородных уравнений и неоднородных граничных условий.
Теперь изложим кратко метод Фурье (метод разделения переменных) для задачи (1.1)-(1.4). Вначале ищутся нетривиальные решения u = u(x,t) следующего вида:
u(x,t) = X (x)T (t)
Подставив (1.5) в уравнение (1.1) условие (1.2), получим соотношение
A(x) X ′′(x) + B(x) X ′(x) +C(x) X (x)
X (x)
A1 (t)T ′′(t) + B1 (t)T ′+C1 (t)T (t) = −λ
T (t)
(1.5)
и краевое
=
(1.6)
где λ - постоянная, а из (1.2) получаем условия
a1 X ′(0) +b1 X (0) = 0; a2 X ′(l) +b2 X (l) = 0 |
(1.7) |
||
Из (1.6) и (1.7) находим |
(1.8) |
||
A(x) X |
′′ |
′ |
|
(x) + B(x) X (x) +(C(x) +λ) X (x) = 0 |
|||
A1 (t)T ′′(t) + B1 (t)T ′+(C1 (t) +λ)T (t) = 0 |
(1.9) |
||
Теперь отметим важный момент. Нам нужны |
|||
функции X = X (x) |
и T =T (t) отличные |
от |
тождественного нуля (нетривиальные решения). Для этого надо сначала найти те действительные числа λ, при которых краевая задача (1.7)-(1.8) имеет нетривиальные решения. Такие числа λ
называются собственными значениями задачи (1.7)-(1.8), а соответствующие им решения называют собственными функциями.
Заметим, что задачу (1.7)-(1.8) называют задачей Штурма-Лиувилля (задача Ш.-Л.). Наиболее распространён случай, когда задача Штурма-Лиувилля имеет счётное множество собственных значений {λk , k =1, 2,...}, причём
λ1 < λ2 <... < λn <..., lim λn = +∞,
n→∞
а соответствующая счётная система линейно независимых собственных функций
X1 (x), X 2 (x),…, X n (x),…
является ортогональной.
Напомним, что система функций является ортогональной, если
∫l |
Xi (x) X j (x)dx = 0, i ≠ j. |
0 |
|
Теперь нужно найти общее решение уравнения (1.9) для каждого собственного значения λ = λk , k =1, 2,....
В гиперболическом случае (A1 (t) > 0) общее
решение уравнения (1.9) может быть представлено в виде
Tk (t) = AkTk (t) + BkTk (t),
где Ak , Bk - произвольные действительные
постоянные, а функции Tk , Tk - решения
уравнения (1.9), удовлетворяющие условиям
Tk (0) =1,Tk′(0) = 0; Tk (0) = 0,Tk′(0) =1.
При A1 (t) ≡ 0, B1 > 0 (параболический случай)
общее решение уравнения (1.9) (для λ = λk ) имеет
вид:
Tk (t) = CkTk (t),
где Ck |
- |
произвольная действительная |
||
постоянная, а частное решение |
T =Tk (t) |
|||
уравнения (1.9) |
удовлетворяет условию Tk (0) =1. |
|||
По принципу суперпозиции функция |
|
|||
|
|
∞ |
|
|
|
|
u(x,t) = ∑Tk (t) X k (x) |
|
(1.10) |
|
|
k =1 |
|
|
будет классическим решением задачи (1.1)-(1.2), если ряд (1.10) сходится и его можно дважды дифференцировать. Так как должны ещё выполняться начальные условия (1.3) или (1.4), то в гиперболическом случае получаем:
∞ |
|
|
∑Ak X k (x) =ϕ(x); |
(1.11) |
|
k =1 |
||
∞ |
||
|
||
∑Bk X k (x) =ψ(x); x [0,l], |
|
|
k =1 |
|
|
а в параболическом случае |
|
|
∞ |
|
|
∑Ck X k (x) =ϕ(x); x [0,l]. |
(1.12) |
|
k =1 |
|
|
По предположению система |
собственных |
функций {X k } является ортогональной. Поэтому
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
X k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
X k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ck = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X k |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
X k |
|
|
|
2 = ∫l |
( X k (x))2 dx. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫l ϕ(x) X k (x)dx, |
||
0 |
(1.13) |
|
∫l |
||
ψ(x) X k (x)dx, |
||
0 |
|
∫l |
ϕ(x) X k (x)dx, |
(1.14) |
0 |
|
|
0
Подставляя (1.13) или (1.14) в (1.10), получим искомое решение смешанной задачи в гиперболическом или параболическом случае.
Заметим, что методом Фурье можно решать и некоторые эллиптические краевые задачи. Далее мы приведём соответствующие примеры.
§2. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Задача 1.
Однородная струна длиной l натянута между точками x = 0 и x = l . На участке струны её
точкам придана постоянная начальная скорость υ0 (этого можно добиться, ударяя по струне
плоским жёстким молоточком). Найти колебания струны в любой момент времени.
Решение. Задача сводится к решению однородного уравнения
∂2u |
= a2 ∂2u |
(2.1) |
∂t2 |
∂x2 |
|
с граничными
u |
|
x=0 = u |
|
x=l = 0 |
(2.2) |
|
|
||||
|
|
|
и начальными
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
|
t=0 |
∂t |
|
|
=ψ0 |
(x) = υ0 , |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
t=0 |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x <α,
α < x < β, |
(2.3) |
β < x ≤ l. |
|
условиями. |
|
( A(x) ≡1, |
|
, |
По общей |
схеме §1 |
A (t) ≡ a−2 |
||
|
|
|
1 |
|
B(x) ≡ C(x) ≡ 0, |
B1 (t) ≡ C1 (t) ≡ 0 , |
a1 = a2 = 0, |
ϕ(x) ≡ 0, |
ψ(x) ≡ψ0 (x)) получим задачу Ш.-Л. (см. (1.7), (1.8))
′′ |
(2.4) |
X (x) +λX (x) = 0, |
|
X (0) = 0, X (l) = 0. |
(2.5) |
Рассмотрим три случая.
а) λ < 0.
Общее решение уравнения (2.4) имеет в этом случае вид
X (x) = C1e −λx +C2e− −λx
Из условий (2.5) вытекает, что
C1 +C2 |
= 0, |
|
C = 0, |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+C |
|
= 0. |
||||
C el −λ |
e−l −λ = 0. |
C2 |
||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Итак, λ < 0 |
- |
не является |
|
|
собственным |
|||
значением задачи Ш.-Л. (2.4)-(2.5) |
|
|
|
|||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) λ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом |
случае |
|
уравнение |
(4) |
имеет вид |
|||
′′ |
|
= C1 +C2 x , |
|
|
|
|
||
X (x) = 0, т.е. X (x) |
|
|
|
|
а из условий (2.5) получим
C1 = 0,
C2 = 0.
Следовательно, λ = 0 - не является собственным
значением.
в) λ > 0.
Общим решением уравнения (2.4) в этом случае будет
X (x) = C1 sin λx +C2 cos λx,
а условия (2.5) дают систему
C |
2 |
= 0, |
|
|
C |
2 |
= 0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
λl +C |
cos λl = 0. |
|
|
|
|
C sin |
C sin λl = 0. |
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
Так как C1 ≠ 0 (иначе X (x) ≡ 0 ), то
sin λl = 0 λl =πk; k =1, 2,...
откуда находим собственные значения,
λk = πlk 2 , k =1, 2...
и линейно независимые собственные функции
X k (x) = sin |
πkx |
, k =1, 2... |
|
l |
|
задачи (2.4)-(2.5). Из теории рядов Фурье следует, что система функций {X k (x)} -
ортогональная и полная на отрезке [0,l] причём
X k 2 = 2l .
Дифференциальное уравнение для функции T =T (t) имеет вид
T ′′(t) +a2λkT (t) = 0.
Его общим решением является
T |
(t) = A |
cos akπ t + B |
sin akπ t. |
|
k |
k |
l |
k |
l |
|
|
|
Решением задачи (2.1)-(2.3) будет (см. §1) функция
|
∞ |
|
|
akπ |
t + Bk |
sin |
akπ |
|
kπ |
x. |
|
|
|
u(x,t) = ∑ Ak cos |
l |
l |
|
t sin |
l |
|
|||||
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим, что |
T |
(t) = cos akπ t , |
а |
T |
(t) = akπ sin akπ t |
|||||||
|
|
k |
|
|
l |
|
k |
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. §1).
По формулам (1.13) §1 получаем