Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

244.85 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

′′	= 0, X (a) = 0.	(4.10)
X (x) +λX (x) = 0, X (0)

Как и в §2 получим собственные значения

λ	= πk	2 ,		k =1, 2...,
k
	l
и собственные функции
X k (x) = sin		πkx , k =1, 2....
			a
Решая для λ = λk			второе				уравнение в
соотношении (4.9), получим
Y ( y) = A e			kπ y	+ B e	−kπ y
Y ( y) = A e			a	+ B e		a	.
k	k			k

Итак, по общей схеме §1 решение задачи (4.1)- (4.4)-(4.5) имеет вид:

∞	kπ y	+ Bk e−	kπ y		πkx.
u1 (x, y) = ∑( Ak e				)sin		(4.11)
	a		a
k =1					a

Теперь, для нахождения чисел Ak , Bk получим

систему

+ Bk =

(x)sin

πkx dx,

ψ0

∫0

(4.12)

kπb

πkx

−

∫ψ1 (x)sin

Ak e a

+ Bk e

dx.

Вернёмся теперь к функции u = u2 (x, y). Отметим,

что для неё аналогом соотношения (4.9) будет

′′	−1	′′	−1	= −λ.	(4.13)
Y (Y )		= −X ( X )		= −λ.	(4.13)

(Сравните знаки в (4.9) и (4.13)!). Как и выше, получим:

∞	kπx	+ Dk e−	kπx		πky.
u2 (x, y) = ∑(Ck e				)sin		(4.14)
	b		b
k =1					b

Коэффициенты Ck и Dk находим аналогично из

системы

πky dy,

+ Dk =

∫0

ϕ0 (x)sin

(4.15)

kπa

πky

−

∫ϕ1 (x)sin

Ck e b

+ Dk e

dy.

Задача 5. Решить задачу Дирихле для

уравнения Лапласа

∂2u

∂2u = 0

(4.16)

∂x2

∂y2

в области, заключённой между двумя концентрическими окружностями радиусов a и b с центром в начале координат. Граничные

условия будут выписаны ниже.

Решение. Запишем уравнение (4.16) в полярных координатах

r2 ∂2u	+r	∂u	+	∂2u	= 0,	(4.17)
		∂r		∂ϕ2
∂r2

где u(r,ϕ +2π) ≡ u(r,ϕ),u(r,ϕ) ≡ u(r cosϕ, r cosϕ),

а граничные условия имеют следующий вид

u(a,ϕ) = f1 (ϕ),u(b,ϕ) = f2 (ϕ),ϕ [0, 2π]. (4.18)

Задачу (4.17)-(4.18) решаем методом Фурье, т.е. ищем нетривиальные решения уравнения

(4.17) в виде

u (r,ϕ)= R(r)Φ(ϕ).

Тогда по общей схеме §1 получаем

−	r2 R′′+rR′	=	Φ′′	≡ −λ.	(4.19)
	R		Φ

Из условия периодичности функции u по переменной ϕ вытекает тождество

R(r)Φ(ϕ +2π) = R(r)Φ(ϕ).	(4.20)
Так как найдётся r = r0 , что R(r0 ) ≠ 0 ,	ибо иначе

решение u(r,ϕ) ≡ 0, то из тождества (18) при r = r0

вытекает соотношение

Φ(ϕ +2π) = Φ(ϕ).

(4.21)

Из (17) и (19) получаем своеобразную задачу Ш.- Л.


Φ′′(ϕ) +λΦ(ϕ) = 0,		(4.22)
	Φ(ϕ +2π) = Φ(ϕ).

Нетрудно видеть, что задача Ш.-Л. (4.22) имеет собственные значения

λ = n2	, n = 0,1, 2,...,	(4.23)
n
и соответствующие	линейно	независимые
собственные функции


		Φn (ϕ) = cos nϕ, n = 0,1, 2...,
			Φ		(ϕ) = sin nϕ, n =1, 2....
			Φ	n	(ϕ) = sin nϕ, n =1, 2....
				n
Для функции				R = R(r)			из (4.20) при
n = 0,1, 2,..., получим уравнение Эйлера

	2	′′			′	2	R(r) = 0, n = 0,1, 2,...
	r	R (r)	+rR (r) −n				R(r) = 0, n = 0,1, 2,...

(4.24)

λn = n2 ,

(4.25)

Решение уравнения (4.25) ищем в виде R(r) = rµ ,

т.е.

r2 µ(µ −1) + µrrn−1 −n2rn = 0

µ2 −n2 = 0, µ = ±n, n =1, 2,...

Итак, общим решением уравнения (4.25) является

Rn (r) = An rn + Bn r−n , n =1, 2,....

Нетрудно убедиться, что при λ0 = 0, уравнение

(4.25) имеет общее решение вида

R0 (r) = A0 ln r + B0 .

Теперь, как и в §1, можно удостовериться, что решение задачи (4.17)-(4.18) имеет вид

	∞
	u(r,ϕ) = ∑( An rn + Bn r−n ) cos nϕ +	(4.26)
	n=1
	∞
	∞
	∑(Cn rn + Dn r−n )sin nϕ + A0 ln r + B0 ,
	n=1

где коэффициенты An , Bn , Cn , Dn , A0 , B0 ,

находятся из условия (4.18), т.е. как решения следующих систем:

Anan

Anbn

Cnan

Cnbn

+Bna−n = π1 −∫π

1π

+Bnb−n = π −∫π

1π

+Dna−n = π −∫π

1π

+Dnb−n = π −∫ππ

f1 (ϕ) cos nϕdϕ,

f2 (ϕ) cos nϕdϕ.

f1 (ϕ)sin nϕdϕ,

f2 (ϕ)sin nϕdϕ.

		1	π
			π
A0 ln a + B0 =			f1 (ϕ)dϕ,
A0 ln a + B0 =		2π	f1 (ϕ)dϕ,
		2π	−∫π
		1	π
		1	π
A0 ln a + B0	=		∫ f2 (ϕ)dϕ.
A0 ln a + B0	=	2π	∫ f2 (ϕ)dϕ.
		2π	−π

§5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

Решения уравнения вида (8) из §1 принято называть специальными функциями, если коэффициент A(x) равен нулю в отдельных точках отрезка [0,l].

У нас нет возможности останавливаться на теории специальных функций. Мы рассмотрим, например, задачу, в которой появляется одна из важнейших специальных функций – функция Бесселя. Эта функция задаётся следующим дифференциальным уравнением

2 ′′	′	2	−γ	2	)w(x) = 0,	(5.1)
x w (x) + xw (x) +(x

которое называется уравнением Бесселя. Общее решение уравнения (1) имеет вид

wγ (x) = c1Jγ (x) +c2 Nγ (x),

(5.2)

где Jγ и Nγ - функции Бесселя соответственно 1- го и 2-го порядка γ (индекса γ ).

Отметим два важных свойства функций Jγ :

1) Уравнение Jγ (x) = 0 (γ ≥ 0, x > 0) имеет счётное

множество решений, которые обозначаются следующим образом:

							µ(γ ) < µ(γ ) <....			(5.3)
							1		2
	l			(γ )			(γ )	x
2)	∫	xJ		µi	x J		µj	x	dx = 0,i ≠ j,l > 0.	(5.4)
2)		xJ	γ	µi	x J				dx = 0,i ≠ j,l > 0.	(5.4)
			γ	l		γ	l
	0			l			l

Рассмотрим теперь следующую задачу. Задача 6. Найти собственные колебания

однородной круглой мембраны радиуса R ,

закреплённой вдоль границы, если в начальный момент она представляет собой поверхность параболоида вращения, а начальные скорости равны нулю.

Решение. Требуется найти решение двумерного волнового уравнения

∂2u

= a

∂2u

= u(x, y,t),

(5.5)

∂t

∂x

∂y

с начальными условиями:

+ y

t=0

A 1

−

, ∂u

= 0,

(5.6)

∂t

t=0

и граничными условиями: u

r=R = 0

(5.7)

= 0,u

r=0

< +∞, r =

x2 + y2 .

Учитывая, что колебания мембраны будут
			(u		t=0 =ϕ(r)), запишем уравнение
радиальными


(5.5) в полярных координатах
	1 ∂2u	= ∂2u	+ 1 ∂u , u(r,t) = u(r cosϕ, r sinϕ,t). (5.8)

	a2 ∂t2
		∂r2		r ∂r

Решение уравнения (5.8) находим методом Фурье:

u(r,t) = ρ(r)T (t).

(5.9)

Подставляя соотношение (5.9) в уравнение (5.8), и разделяя переменные, будем иметь два уравнения:

		′′	2	(5.10)
		T (t)	+λa T (t) = 0,
	1			(5.11)
	ρ′′(r) + r		ρ′(r) +λρ(r) = 0,
с условием				(5.12)
		ρ(R) = 0, ρ(0) < +∞.

Общим решением уравнения (5.10) будет функция

T (t) = c1 cos λat +c2 sin λat.

(5.13)

Чтобы решить уравнение (5.11), введём новую независимую переменную z = λr , тогда будем

иметь уравнение Бесселя порядка нуль (индекса нуль):

ρ′′(z) +	1	ρ′(z) + ρ(z) = 0.	(5.14)
	z
Так как функция	ρ(z) = ρ( λz) должна		быть

ограниченной, то искомое решение уравнения (5.14) должно иметь вид

ρ(z) = J0 (z) ρ(z) = J0 ( λr).

Сучётом условия (5.12), находим те значения λ,

при которых справедливо равенство

J0 (			λR) = 0,
откуда
λ	=		µk(0)		2
k				R
				R
- собственные числа, а
ρk (r )= J0			(0)	r	, k =1, 2,...,
ρk (r )= J0		µk		r	, k =1, 2,...,
			R

собственные функции задачи (5.11)-(5.12). Решением задачи (5.5)-(5.7) является функция

u(r,t) =

∞

µ(0)

(5.15)

∑ C1,k cos

+C2,k sin

k =1

где

u(r,t) = u(r cosϕ, r sinϕ,t), r = x2 + y2 .

а C1,k , C2,k находим из уравнений (5.6) и (5.7).

Нетрудно видеть, что C2,k

= 0, а C1,k

находятся с

использованием соотношения (5.4), а именно

(0)

1−

rJ0

µk

r dr

∫0

(5.16)

1,k

µ(0) r

∫0

Здесь только условие ортогональности (см. §1) заменяется на условие ортогональности с весовой функцией ρ0 (r) ≡ r .

Итак, искомые колебания мембраны описываются функцией

∞	(0)	at		(0)	r
u(r,t) = ∑C1,k cos	µk	at	J0	µk	r	,
k =1	R			R

u(r,t) = u(r cosϕ, r sinϕ,t),

где C1,k вычисляются по формуле (5.16).

§6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Здесь		используются обозначения:				∂2u	= u′′xx ,
						∂x2
∂2u	= utt′′,	∂u	= u′x ,	∂u	= ut′.
∂t2	= utt′′,	∂x	= u′x ,	∂t	= ut′.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>