Elementy_teorii_veroyatnostey_Tsekhovaya

функции центрированной случайной величины, подчиняющейся закону нормального распределения, определить все центральные моменты.

функцией. Найти закон распределения, соответствующий этой характеристической функции.

35. Покажите, что f (t) = (1+3cost) / 4 является характеристической

функцией. Найти закон распределения, соответствующий этой характеристической функции.

соответствует случайной величине дискретного типа. Найти ряд распределения этой случайной величины.

случайных величин ξ и η, если одна из них распределена равномерно на

40.Доказать, что функция e−t2 (π−arctgt) не является характеристической.

41.Докажите: если хотя бы один из коэффициентов b1,…,bn отличен от

n

нуля,тофункция ∑(ak coskt + bk sin kt) неотноситсякхарактеристической.

k=1

21

характеристической.

43. Пусть ξ1, ξ2, …– последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, v – случайная величина, не зависящая

от ξ1, ξ2,… и принимающая целые положительные значения. P{v = k} = pk. Пусть ψ(t) – характеристическая функция ξ1. Найти характеристическую функцию случайной величины ξ1 + … + ξv.

44.Случайные величины ξ1, ξ2 и η независимы; характеристические функции величин ξ1 и ξ2 равны ψ1(t) и ψ2(t) соответственно. Известно, что P{η = 1} = 1 – P{η = 0} = p. Найти характеристическую функцию случайной величина v = ηξ1 + (1 – η)ξ2.

45.Найти характеристическую функцию "треугольного" распределения с

α(1−α | x |), | x |≤1/ α,

плотностью рξ(х) = 0, | x |>1/ α.

5. СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Случайной последовательностью ξn = ξn(ω), ω Ω, n = 1, 2,…,

определенной на вероятностном пространстве (Ω, , Р), называется счетное параметрическое семейство случайных величин ξ1 = ξ1(ω), ξ2 = ξ2(ω),…,

заданных на одном и том же вероятностном пространстве (Ω, , Р).

В теории вероятностей существует четыре основных вида сходимости. Последовательность случайных величин ξ1, ξ2, … сходится к случайной

величине ξ с вероятностью 1 (почти наверное), если

P{ω: nlim→∞ ξn(ω) = ξ(ω)} = 1.

+∞

Теорема 2. Если для ε > 0 сходится ряд ∑P{| ξn −ξ|≥ ε} < + ∞, то

n=1

P=1

ξn n→→∞ ξ .

Последовательность случайных величин ξ1, ξ2, … сходится по вероятности к случайной величине ξ, и этот факт принято обозначать

P

ξn n→→∞ ξ , если для всякого ε > 0

22

lim P{|ξn – ξ| ≥ ε} = 0.

n→∞

Последовательность ξ1, ξ2, … сходится в среднем порядка r (0 < r < + ∞)

Lr

к случайной величине ξ, и принято кратко обозначать ξn n→→∞ ξ, если

ограниченыабсолютныемоменты порядка r : M{|ξn|r} < + ∞, M{|ξ|r} < + ∞, и выполняется предельное соотношение

lim М{|ξn – ξ|r} = 0.

n→∞

Если r = 2, то L2 - сходимость называется сходимостью в среднем

ср. кв.

квадратическом и обозначается ξn → ξ либо l.i.m.ξn = ξ .

n→∞ n→∞

Пусть ξ1, ξ2, … – случайная последовательность, определенная на

вероятностном пространстве (Ω, , Р), ξ – случайная величина, которая может быть определена и на другом вероятностном пространстве. Пусть

далее Fξn (x), Fξ(x), x R, – соответствующие функции распределения, а

С(Fξ) R – множество точек непрерывности Fξ(х). Говорят, что случайная последовательность {ξn} сходится к случайной величине ξ по

D

распределению, и пр инято кратко обозначать это: ξn n→→∞ ξ , если имеет

место сходимость последовательности функций распределения

nlim→∞ Fξn (x) = Fξ(x) , х С(Fξ).

Справедлива схема соотношения между видами сходимости.

P=1

ξn n→→∞ ξ

Теорема 3. Если случайная последовательность ξ1, ξ2, … сходится в смысле каких-нибудь двух из трех видов сходимости: по вероятности, почти наверное, в среднем порядка r, то предельные случайные величины с вероятностью 1 совпадают.

Пример 7. Случайная последовательность ξ1, ξ2, … задана на

вероятностном пространстве (Ω, , Р), где Ω = [0, 1], – борелевская σ-алгебра подмножеств из Ω, P – мера Лебега,

23

ξn = ξn(ω) = na , 0 ≤ ω≤1/ n,0, 1/ n < ω≤1,

a > 0 – некоторый параметр. Исследовать сходимость в среднем порядка r последовательности ξ1, ξ2, … к случайной величине ξ = 0.

Решение. Вычислим M{ξn}r = nar ( 1n – 0) + 0r (1 – 1n ) = nar–1.

Упражнения

1.Пусть множество элементарных событий Ω = [0, 1]. Р – мера

0, ω (1/ n,1],

Лебега. Последовательность ξ1, ξ2, … имеет вид: ξn(ω) =

n, ω [0,1/ n].

Проверить три вида сходимости: почти наверное, по вероятности, в среднем порядка р.

Доказать сходимость почти наверное, по вероятности, в среднем порядка р. 3. Последовательность случайных величин ξ1, ξ2, … сходится по вероятности к случайной величине ξ. Пусть g(x) – некоторая ограниченная, непрерывная функция. Что можно сказать о сходимости

последовательности ηn = g(ξn)?

4. Пусть множество элементарных событий Ω = [0, 1]. Р – мера Лебега.

Проверить три вида сходимости: почти наверное, по вероятности, в среднем порядка р.

5. Пусть ξ1, ξ2,… – последовательность случайных величин, причем ξn принимает значения na и 0 с вероятностями 1n и 1− 1n соответственно,

п = 1, 2,… Исследовать сходимость последовательности {ξn} по вероятности и в среднем порядка r в зависимости от выбора a и r.

24

P

чисел a, b и с выполняется аξn + bηn + с → aξ + bη + с.

n→∞

7. Пусть ξ1, ξ2,… и η1, η2,… – две последовательности положительных случайных величин. Могут ли существовать положительные числа a, b,

8.Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность случайных величин, η1, η2,…

–последовательность положительных целочисленных случайных величин,

таких, что ηn не зависит от ξ1, ξ2,… при любом n. Док ажите, что если

9. Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность случайных величин, η1, η2,…– последовательность положительных целочисленных случайных величин,

таких, что ηn не зависит от ξ1, ξ2, … при любом n. Докажите, что если

10. Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность случайных величин с конечными дисперсиями. Положим ап = Мξп, Dξп = σ2n . Доказать, что если

11. Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиями, ηn = ξ1 ×…× ξn.

P

Доказать, что если М|ξ1| = М|ξ2| = … < 1, то ηn n→→∞ 0 .

12. Пусть ξ1, ξ2,…– последовательность независимых случайных величин, ηn = ξ1 ×…× ξn. Доказать, что если для некоторого a > 0 М|ξ1|a =

P

М|ξ2|a =… < 1, то nbηn n→→∞0 для любого вещественного b.

P

13. Доказать, что если ξn n→→∞ ξ , то для всякого ε > 0 существует А > 0, такое, что при любом натуральном п P{|ξn| ≥ A} < ε.

25

P=1

ξn n→→∞ 0 .

16. Докажите, что если ξ1, ξ2,… – одинаково распределенные случайные

19. Пусть последовательность случайных величин ξ1, ξ2,… сходится в среднем квадратическом к случайной величине ξ, причем М|ξn| < + ∞,

последовательности {ξn} к случайной величине ξ в среднем порядка r?

6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Пусть задана последовательность случайных величин ξ1, ξ2, …, имеющих конечное математическое ожидание Mξk < + ∞, k = 1, n , n N =

{1, 2, 3,…}.

Последовательность ξ1, ξ2, … подчиняется закону больших чисел (ЗБЧ),

Теорема 4 (достаточное условие Маркова ЗБЧ). Пусть на вероятностном пространстве (Ω, , Р) определена последовательность как

26

угодно зависимых случайных величин ξk = ξk(ω), k = 1, 2,…, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии. Если выполняется

Теорема 5 (достаточное условие Чебышева ЗБЧ). Если ξk = ξk(ω), k = 1, 2,…, – последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и ограниченные дисперсии

Dξk ≤ c < + ∞ для любого k, то к последовательности {ξk} применим ЗБЧ.

Теорема 6 (Бернулли). Если ξk = ξk(ω), k = 1, 2,…, – последовательность одинаково распределенных попарно независимых случайных величин

Последовательность ξ1, ξ2, … подчиняется усиленному закону больших

вероятностном пространстве (Ω, , Р) определена последовательность независимых в совокупности случайных величин ξk = ξk(ω), k = 1, 2,…,

вероятностном пространстве (Ω, , Р) определена последовательность независимых в совокупности одинаково распределенных случайных

величин ξk = ξk(ω), k = 1, 2,… Для того чтобы выполнялся УЗБЧ в виде

причем Mξ1 = а.

Замечание. Из выполнения УЗБЧ следует выполнение ЗБЧ.

Пример 8. Применим ли к последовательности независимых случайных величин ξ1, ξ2, … ЗБЧ и УЗБЧ, если ряд распределения ξn имеет вид

27

последовательность ξ1, ξ2, … подчиняется УЗБЧ.

Упражнения

1. Применима ли к последовательности независимых случайных

величин ξ1, ξ2, … теорема Маркова (Чебышева), если ряд распределения ξn имеет вид

Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева?

3.Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность независимых случайных величин, причем ξn принимает значения 2n и – 2n с вероятностями 1/2. Проверить, выполняются ли условия теоремы Маркова и Чебышева для ЗБЧ.

4.Применим ли к последовательности независимых случайных величин

ξ1, ξ2, … ЗБЧ, если ряд распределения ξn имеет вид

5.Применим ли к последовательности независимых случайных величин

ξ1, ξ2, … ЗБЧ, если ряд распределения ξn имеет вид

28

6.Применим ли к последовательности независимых случайных величин

ξ1, ξ2, … ЗБЧ, если ряд распределения ξn имеет вид

7.Применим ли к последовательности независимых случайных величин

ξ1, ξ2, … УЗБЧ, если ряд распределения ξn имеет вид

8. Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность независимых случайных

величин, причем ξn принимает значения – n, 0, n с вероятностями 2–n, 1 – 2–n+1, 2–n соответственно. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

9. Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность независимых случайных величин, принимающих каждая по четыре значения: ±1 с вероятностями

(1−1/ 2n ) / 2 и ±2n / 2 с вероятностями 2−n−1 . Доказать, что эта последовательность подчиняется как обычному, так и усиленному ЗБЧ.

случайных величин ξ1, ξ2,… теорема Чебышева, если ряд распределенияξn имеет вид

точный квадрат; ап = 2–n – в остальных случаях. Применимы ли к данной последовательности ЗБЧ и УЗБЧ?

13. Докажите, что для последовательности независимых случайных величин ξ1, ξ2, … УЗБЧ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется ЗБЧ. Ряд распределения ξn имеет вид

29

14.Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность некоррелированных случайных величин, т.е. cov{ξi, ξj} = 0, i ≠ j. Дисперсия Dξn ≤ С = const. Подчиняется ли эта последовательность ЗБЧ и УЗБЧ?

15.Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, причем cov{ξi, ξj} ≤ 0, i ≠ j. Доказать, что к этой последовательности применим ЗБЧ.

16.Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность случайных величин с конечными дисперсиями и пусть коэффициент корреляции величин ξi и ξj не превосходит g(|j – i|), где g(k) ≥ 0. Доказать, что если

[g(0) + …+ g(n – 1)][ σ12 +... + σ2n ] = o(n2 ) при n → ∞,

то к последовательности {ξn} применим ЗБЧ.

17. Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, а1, а2,… – равномерно ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Можно ли утверждать, что

если ЗБЧ выполняется для ξn, п N, то он выполняется и для ηn , где

ηn = аn ξn ?

18.Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность случайных величин такая, что

ξn принимает значения – n, – (n – 1), …, –1, 0, 1, …, n – 1, n, причем

Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

19. Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием а,

ηn = (ξ1 +…+ ξn)/n. Доказать, что к последовательности {ηn} применим УЗБЧ.

20.Пусть ξ1, ξ2, … – последовательность независимых равномерно распределенных на отрезке [a, b] случайных величин. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

21.Случайная величина ξn имеет "треугольное" распределение, т.е. ее

22. Последовательность ξ1,ξ2, … образована независимыми случайными величинами, имеющими нормальное распределение с Мξk = 0 и дисперсией

30