Lektsii_Mekhanika_Ch_2
.pdf
более высокие степени смещения и его производных, то уравнение становится нелинейным. Например, при больших смещениях математического маятника от положения равновесия в разложении sinα уже нельзя пренебрегать более высокими степенями разложения по сравнению с первым членом.
Наиболее важным свойством линейных колебательных систем является то их свойство, что если система может одновременно принимать участие в двух движениях (в частности, колебательных), то результирующее смещение равно геометрической сумме принципа суперпозиции. В нелинейных же системах этот принцип не выполняется. Действительно, предположим, что нелинейная система описывается нелинейным дифференциальным уравнением.
d 2 x + Ax3 + Bx2 + Cx = 0 dt2
Пусть записанное уравнение имеет два различных частных решения x1 и x2 , соответствующие различным начальным условиям. Для каждого из решений можно записать
|
|
d 2 x |
+ Ax3 |
+ Bx2 |
+ Cx = 0 |
|||||
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
dt2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d 2 x2 |
+ Ax3 |
+ Bx2 |
+ Cx |
|
= 0 |
||||
|
|
2 |
||||||||
|
dt2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если принцип суперпозиции будет соблюдаться, уравнению должно удовлетворять и решение x = x1 + x2 . После подстановки x = x1 + x2 в исходное уравнение получаем, что
d 2 x |
+ |
d 2 x |
2 |
+ Ax3 |
+ Ax3 |
+ 3Ax2 x |
|
+ 3Ax x2 |
+ Bx2 |
+ Bx2 |
+ 2Bx x |
|
+ Cx + Cx |
|
= 0 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
dt2 |
|
dt2 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Как видно, из уравнения уравнение будет выполнятся только в том случае, если выполняются условия
|
|
d 2 x |
+ Ax3 |
+ Bx2 |
+ Cx = 0 |
|||
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
dt2 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d 2 x2 |
+ Ax3 |
+ Bx2 |
+ Cx |
|
= 0 |
||
|
|
2 |
||||||
|
|
dt2 |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3Ax1x2 (x1 + x2 )+ Bx1 x2 = 0 |
|||||||
Первых два условия соблюдаются всегда, поскольку x1 |
|
и x2 являются решениями уравнения |
||||||
движения. Что касается последнего уравнения, то оно будет выполняться только в том случае, если коэффициенты A и B равны нулю. Таким образом, принцип суперпозиции только для уравнений, у которого все коэффициенты при членах, содержащих во второй и более высоких степенях, равны нулю
d 2 x + Cx = 0 dt2
а это есть линейное дифференциальное уравнение.
Рассмотрим несколько примеров нелинейных механических колебательных систем. Сразу же отметим, для решения нелинейных дифференциальных уравнений не существует стандартных методов, в разных случаях для изучения нелинейных систем применяют специальные приёмы, которые позволяют получить лишь приближённое описание системы, приближённое решение уравнений, описывающих нелинейную систему. Поэтому для получения основных, характерных для всех нелинейных систем выводов воспользуемся частными примерами.
Нелинейной, например, называется колебательная система с переменной упругостью. Переменная упругость (нелинейная зависимость упругости от деформации пружины) приводит к возникновению нелинейных колебаний, ещё раз отметим, что для нелинейных систем несправедлив принцип суперпозиции. Например, если поведение системы описывается
дифференциальным уравнением движения |
d 2 x |
+ ω 3 x3 |
= 0 и известны его частные решения, то |
|
|||
|
dt2 |
0 |
|
|
|
|
подстановка их поочерёдно в исходное уравнение даёт следующий результат.
Как видно, движение каждого тела проходит по совершенно одинаковым законам с одной и той же частотой ω1 .
б). В исходный момент времени t = t0 = 0 оба тела отводятся от их положения равновесия на
одинаковое расстояния |
в разные стороны и отпускаются без толчка. Начальное смещение и |
скорости тел в этом |
случае равны: x10 = B , x20 = −B , v10 = v20 = 0. При таких начальных |
условиях, как это следует из (394), обращается в нуль амплитуда первой составляющей, т.е. оба |
|
тела будут совершать |
гармонические колебания с частотой ω2 . Амплитуда колебаний b |
определяются из (395), а начальная фаза колебаний из (397): |
|
b = 2B,ϕ |
2 |
= π . |
|
2 |
|
|
|
Учитывая получены результаты, запишем законы движения тел и для этих начальных условий: x1 = B cosω2t , x2 = −Bcosω2t
Получается, что и в этом случае движения каждого тела являются гармоническими, но колебания происходят в противофазе.
В). В исходный момент времени первое из тел отводится от положения равновесия на A , а второеудерживается в его положении равновесия. Затем оба тела без толчка отпускают. Начальное смещения тел и их начальные скорости равны x10 = A , x20 = 0 ,v10 = v20 = 0. Учитывая это, из выражений (394),(395),(396),(397) находим значения амплитуд составляющих и начальные фазы
π
колебаний: a = b = A,ϕ1 = ϕ2 = 2 .
C учётом полученных результатов можно в окончательном виде представить законы движения каждого из системы тел:
x1 = A[cosω1t + cosω2t] 2
x2 = A[cosω1t − cosω2t] 2
Таким образом, при рассмотренных начальных условиях, в отличие от описанных ранее, колебания тел не являются чисто гармоническими, а представляют собой сумму двух гармонических составляющих различных частот. В этом легко убедиться, если законы тел записать в виде:
x |
|
= A cos |
ω2 |
−ω1 |
|
t cos |
ω1 + ω2 |
t |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
= A sin |
ω2 |
−ω1 |
|
t sin |
ω1 + ω2 |
|
t |
||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для такого рода колебаний необходимо отметить весьма существенную деталь. Как видно из самих законов движения, амплитуды колебаний отдельных тел системы с течением времени периодически изменяются по гармоническому закону. При этом, если в некоторый момент времени амплитуда колебаний одного из тел системы обращается в нуль, то амплитуда второго тела в данный момент времени становится максимальной. Следовательно, в системе энергия колебаний каждого тела периодически изменяется. В те моменты времени, когда энергия колебаний одного из них равна нулю, энергия второго максимальна. Иначе говоря, с течением времени происходит передача энергии от одного из колеблющихся тел ко второму.