theory

В общем случае, зная только законы распределения случайных величин ξ1, ξ2 , нельзя найти закон распределения вектора ξ = (ξ1; ξ2 ) (совместный закон распределения). Для этого нужно знать связь между ξ1 и ξ2.

Абсолютно непрерывные случайные векторы

Определение 13. Распределение вероятностей n-мерной случайной величины (случайного вектора) ξ = (ξ1, …, ξn ) называется абсолютно непрерывным распределением, а сама случайная величина ξ – абсолютно непрерывной n-мерной случайной величиной, если для любого множества

B B( n )

где pξ : n → – интегрируемая по Лебегу функция.

Функция pξ называется плотностью распределения n-мерной случай-

ной величины или многомерной плотностью распределения.

Функция распределения абсолютно непрерывной n-мерной случайной величины для любых x n допускает представление

pξ (x1, …, xn ) = ∂n Fξ (x1, …, xn ) .

∂x1…∂xn

4) Для любого k =1, n

+∞

∫ pξ (x1, …, xn )dxk = p(ξ1, …, ξk−1, ξk+1, …, ξn ) (x1, …, xk−1, xk+1, …, xn ).

−∞

рой n-мерной случайной величины ξ, необходимо и достаточно, чтобы она

удовлетворяла свойствам 1) и 2).

Пример 14. Равномерное распределение на борелевском

Пример 15. Многомерное нормальное распределение с параметрами (a, σ2 ). Распределение вероятностей n-мерной случайной вели-

чины называетсямногомернымнормальнымраспределением спараметрами

(симметричная неотрицательно определенная матрица), если для любых

i, j=1

цы A.

Сингулярные случайные векторы

Определение 14. Распределение вероятностей n-мерной случайной величины (случайного вектора) ξ = (ξ1, …, ξn ) называется сингулярным, а

сама случайная величина ξ – сингулярной n-мерной случайной величиной (сингулярным вектором), если:

1) Fξ – непрерывная функция;

Тогда случайный вектор ξ = (ξ1, ξ2 ) будет сингулярным, так как

F(ξ1,ξ2 ) (x1, x2 ) = Ρ(ξ1 ≤ x1 ∩ξ2 ≤ x2 ) = Ρ(ξ1 ≤ x1 ∩ g(ξ1) ≤ x2 ) =

=Ρ(ξ1 ≤ x1 ∩ξ1 ≤ g−1(x2 )) = Ρ(ξ1 ≤ min (x1; g−1(x2 ))) =

=Fξ1 (min (x1; g−1(x2 ))) – непрерывная функция.

Рассмотрим множество

Ρ((ξ1, ξ2 ) S) = Ρ((ξ1, g(ξ1)) S) =1.

Понятие независимости случайных величин представляет собой перенос понятия независимости случайных событий на случайные величины и отражает отсутствие связи между случайными величинами. Иными словами, независимость случайных величин ξ и η можно охарактеризовать следу-

ющим образом: знание значений, которые приняла случайная величина ξ, не дает никакой новой информации о распределении случайной величины η.

Определение 15. Сигма-алгебра (σ-алгебра)

Aξ = ξ−1(B( ))

называется сигма-алгеброй, порожденной случайной величиной ξ. Определение 16. Случайные величины ξ1, …, ξn называются неза-

висимыми, если независимы σ-алгебры A1, …, An , порожденные этими случайными величинами, т. е. для любых B1, …, Bn B( ) имеет место равенство

n

Ρ(ξ1 B1 ∩ξ2 B2 ∩…∩ξn Bn ) = ∏ Ρ(ξk Bk ). (9)

k=1

Определение независимости случайных векторов дается аналогичным образом. Кроме того, дальнейшие утверждения независимости остаются справедливыми при замене случайных величин на случайные вектора.

является необходимым только для доказательства независимости указанных случайных величин. В обратную сторону ее существование вытекает из того, что случайные величины ξ1,…,ξn независимы и абсолютно непрерывны.

Теорема 11. Дискретные случайные величины ξ1, …, ξn независимы тогда и только тогда, когда для любых возможных значений x1, …, xn случайных величин ξ1, …, ξn соответственно выполнено равенство

n

Ρ(ξ1 = x1 ∩ξ2 = x2 ∩…∩ξn = xn ) = ∏ Ρ(ξk = xk ). (12)

k=1

Независимость случайных величин сохраняется при функциональных преобразованиях.

Утверждение 2. Если ξ1, …,ξn – независимые случайные величины, gi : → , i =1, n, – борелевские функции, то случайные величины g1(ξ1), …, gn (ξn ) также независимы.

Пример 17. Пусть вероятностное пространство (Ω, A , Ρ) задано следующим образом: Ω =[0; 1], A = B([0; 1]), Ρ – мера Лебега. Рассмотрим на этом вероятностном пространстве случайную величину ξ(ω) = ω. Найдем все случайные величины η, независимые с ξ на данном вероятностном

пространстве.

Используя утверждение 2, несложно показать, что только тривиальные (вырожденные) случайные величины η, будут независимы с ξ.

Данный пример показывает, что необходимо с должной осторожностью относиться к фразе «пусть на произвольном вероятностном пространстве (Ω, A , Ρ) заданы независимые случайные величины ξ и η (произвольные!)».

Для такой конструкции вероятностное пространство должно быть достаточно «обширным». На самом деле, для любых данных распределений случайных величин ξ и η можно построить вероятностное пространство и задать

на нем случайные величины ξ и η так, что они будут независимы и иметь

данные распределения. Поэтому приведенную выше фразу следует понимать в том смысле, что пространство (Ω, A , Ρ) уже достаточно «обширно»

и на нем заданы независимые случайные величины, распределения которых совпадают с данными.

Пусть задана дискретная случайная величина ξ с законом распределения

при этом если некоторые из значений g(xi ) совпадают, то они записывают-

ся один раз, а вероятности их появления равны суммам вероятностей тех возможных значений xi , при которых функция g принимает одно и то же

значение.

Многомерный случай описывается аналогично.

Пусть ξ = (ξ1, …, ξn ) – n-мерная абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью распределения

pξ (x), x = (x1, …, xn ) n.

Рассмотрим случайный вектор η = (η1, …, ηn ), где ηi = gi (ξi ), i =1, n.

Формулы (13)–(16) называют формулами композиции или свертками.

Определение 17. Математическим ожиданием случайной величины ξ называется число

M ξ = ∫ξ(ω)dΡ(ω) = ∫ξ(ω)Ρ(dω).

Ω Ω

Математическое ожидание случайной величины ξ – это интеграл Лебега от этой величины по вероятностной мере.

Свойства математического ожидания – это свойства интеграла Лебега.

1)Если Ρ(ξ = c) =1, то M ξ = c.

2)Если ξ – интегрируемая неотрицательная случайная величина, то

M ξ ≥ 0.

3)Если |ξ |≤ c, то M |ξ |≤ c.

4)Если |ξ |≤ η и η интегрируема, то ξ также интегрируема и

M|ξ |≤ M η.

5)Если ξ и η – интегрируемые случайные величины, то для любых a, b случайная величина также интегрируема и

M(aξ +bη) = a M ξ +b M η.

6) Случайные величины ξ и |ξ | одновременно интегрируемы, и |M ξ |≤ M |ξ|.

7) Теорема о монотонной сходимости. Пусть {ξn}, n ≥1, – последова-

тельность неотрицательных интегрируемых случайных величин таких, что

ξn ↑ ξ поточечнопри n → ∞. Если sup M ξn <∞, то ξ такжеинтегрируемаи

n

M ξ = lim M ξn.

n→∞

8) Теорема о мажорируемой сходимости (Лебега). Если для почти всех ω Ω

Если в этой формуле существует один из интегралов, то существует второй и они равны.

Из свойства 10 и соответствующих свойств интеграла Лебега – Стилтьеса вытекают следующие утверждения.

Утверждение 3. Пусть ξ – абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью распределения pξ (x), g : → – борелевская функ-

ция. Тогда

∞

M g(ξ) = ∫ g(x) pξ (x)dx.

−∞

Утверждение 4. Пусть ξ – дискретная случайная величина с законом распределения

где ki – число появленийсобытия {ξ = ai} вэтойсерииэкспериментов, т. е.

где νn ( A) – частота появления события A в n испытаниях. Заметим, что при n → ∞

νn ( A) → Ρ( A) ,

(см., напр., [16, с. 32]), т. е.

1 ∑n xk → M ξ.

n k=1

Таким образом, математическое ожидание случайной величины ξ можно трактовать как вероятностное среднее этой величины.

Пример 19. Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической механике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами pn и пусть xn – координата n-й

точки. Тогда центр тяжести системы будет иметь координату

совпадающую с математическим ожиданием случайной величины ξ , имеющей закон распределения

Для натуральных m величина M ξm , если она определена, называется моментом m-го порядка случайной величины ξ. В частности, момент первого порядка ξ – это ее математическое ожидание. Величина M|ξ | m называ-

ется абсолютным моментом m-го порядка случайной величины ξ. Момен-

ты (абсолютные моменты) случайной величины (ξ − M ξ) называются цен-

тральными моментами (абсолютными центральными моментами) слу-

чайной величины ξ.

Определение 18. Дисперсией случайной величины ξ называется число

D ξ = M(ξ − M ξ)2 ,

число σξ = Dξ называется среднеквадратическим отклонением случайной величины ξ.

Определение 19. Ковариацией случайных величин ξ и η называется число

cov(ξ, η) = M(ξ − M ξ)(η − M η).

Свойства дисперсии

1)D ξ = M ξ2 −(M ξ)2.

2)D ξ ≥ 0.

3) D(ξ +c) = D ξ, где c .

4)D(cξ) = c2Dξ, где c .

5)D ξ = 0 тогда и только тогда, когда существует константа c такая, что Ρ(ξ = c) =1.

6)D(ξ + η) = D ξ + D η + 2cov(ξ, η).

7)Если случайные величины ξ и η независимы, то

D(ξ + η) = D ξ + D η.

Воспользовавшись свойством 10 математического ожидания, можно доказать, что:

−∞

∞

M|ξ | k = ∫ | x| k dFξ (x),

−∞

∞

M(ξ − M ξ)k = ∫ (x − M ξ)k dFξ (x),

−∞

∞

M |ξ − M ξ |k = ∫ | x − M ξ|k dFξ (x), k =1, 2, …;

−∞

2) если случайная величина ξ абсолютно непрерывна с плотностью распределения pξ , то

∞

M ξk = ∫ xk pξ (x)dx,

−∞

∞

M|ξ | k = ∫ | x| k pξ (x)dx,

−∞

∞

M(ξ − M ξ)k = ∫ (x − M ξ)k pξ (x)dx,

−∞

∞

M|ξ − M ξ|k = ∫ | x − M ξ|k pξ (x)dx, k =1, 2, …;

−∞

3) если случайная величина ξ дискретна с законом распределения

то

∞

M ξk = ∑xnk pn , n=1

∞

M|ξ | k = ∑| xn | k pn ,

n=1