theory

1)расстояние от точки A до фиксированной стороны квадрата не превосходит x, x R;

2)расстояние от точки A до ближайшей стороны квадрата не превосхо-

дит x;

3)расстояние от точки A до центра квадрата не превосходит x;

4)расстояние от точки A до фиксированной вершины квадрата не превосходит x.

72. В прямоугольнике со сторонами 1 и 2 выбирается случайная точка A. Найти вероятности следующих событий:

1)расстояние от точки A до ближайшей стороны прямоугольника не

превосходит x, x R;

2)расстояние от точки A до любой стороны прямоугольника не превосходит x, x R;

3)расстояние от точки A до диагонали прямоугольника не превосходит x, x R.

73. На паркет, составленныйиз правильных k-угольниковсо сторонойa, случайно бросается монета радиусом r. Найти вероятность того, что монета не за- денетграницуниодногоизk-угольниковпаркетадля: 1) k = 3; 2) k = 4; 3) k = 6.

74.* На отрезке [0;1] случайным образом выбирается точка A, которая

случайным образом выбирается точка A; ABC – правильный треугольник, одной из вершин которого является точка A, а центром – точка O. Найти

вероятность Pm того, что граница треугольника ABC пересекает ровно m окружностей, m = 0, 1, …, n.

76.Из множества {1, 2, …, 1000} наудачу выбирается число a. Известно, что P{сумма цифр числа a равна S} = 1/100. Найти S.

77.Имеется прямоугольный параллелепипед Π1. В нем случайным образом выбирается сначала точка P, а затем две точки, которые являются вер-

шинами некоторого параллелепипеда Π2, все ребра которого параллельны ребрам Π1. Найти вероятность того, что P Π2 .

78. Во множестве квадратных матриц порядка n с элементами из поля Fp = Z / pZ (p – простое число) наудачу выбирается матрица A. Какова ве-

80. Двое, честный и шулер, играют в кости. Игра заключается в одновременном выбрасывании каждым игроком пары костей. Проигравшим объявляется тот, кто первым выбросит дубль. Честный игрок использует обычные кости, шулер же может изготовить кости с любым распределением

вероятностей pi , qi , где pi , qi – вероятность выпадения i очков на первой и второй кости соответственно: p1 +... + p6 =1 , q1 +... + q6 =1. Что следует

предпринять шулеру, чтобы максимизировать свои шансы на выигрыш? 81.* Задача о замкнутости множества значений вероятности.

Пусть (Ω, A , P) – вероятностное пространство. Доказать, что множество {P(A) : A A } [0; 1] замкнуто, если:

1)вероятностное пространство дискретно;

2)вероятностное пространство неатомично или непрерывно, т. е. для вся-

83.* Пусть A – σ-алгебра на множестве натуральных чисел, P – вероятностная мера на A. Можно ли продолжить P до вероятностной меры на

σ-алгебре всех подмножеств натуральных чисел?

84.* Пусть K – единичная окружность, P – вероятностная мера на K такая, что для всех α имеем P ϕα−1 = P, где ϕα обозначает поворот

окружности K на угол α , а P ϕα−1 – образ меры P при отображении ϕα , т. е.

(P ϕα−1)( A) = P(ϕα−1( A)). Доказать, что P совпадает с нормированной мерой Лебега. Доказать то же самое, предполагая только, что существует α

Найти lim QN .

N →∞

Указание. Доказать сначала для последовательности Фибоначчи свойство Люка: (Fa ; Fb ) = F(a;b).

так как при подсчете этой вероятности необходимо учесть, что на первый

3) ∑Ak = Ω.

k

Теорема 3 (формула полной вероятности). Пусть случайные события

A1, …, An образуют полную группу событий. Тогда для произвольного события B, рассматриваемого на том же вероятностном пространстве,

n

Ρ(B) = ∑Ρ(Ak ) Ρ(B | Ak ).

k=1

Формула полной вероятности верна и при выполнении следующих условий на события Ai :

1)Ρ(Ai ) > 0;

2)Ai ∩ Aj = , i ≠ j;

3)B ∑Ai .

i

Пример 4 . Студент выучил 20 билетов из 25 и идет отвечать вторым. Какова вероятность, что он вытянет «счастливый» билет?

Решение. Введем случайные события:

A1 = {первый отвечающий выбрал «счастливый» билет}, A2 = A1. Тогда

Ρ(A1) = 2025 , Ρ( A2 ) = 255 , Ρ(B | A1) = 1924 , Ρ(B | A2 ) = 2420 ,

где событие B = {второй отвечающий выбрал «счастливый» билет},

Ρ(B) = 2025 1924 + 255 2024 = 54 .

Таким образом, вероятность выбрать «счастливый» билет такая же, как если бы студент отвечал первым.

j=1

Пример 5 . В урне находятся два шара (оба белые, или оба черные, или один черный и один белый – все три исхода равновероятны). Из урны достали один шар, он оказался белым. Какова вероятность того, что и второй шар белый?

Решение. Введем следующие события: A1 = {в урне находятся два белых шара}, A2 = {в урне находятся два черных шара}, A3 = {в урне находятся белый и черный шары}, B = {вынутый из урны шар оказался белым}. Тогда

Ρ(A1) = Ρ(A2 ) = Ρ(A3 ) =13

и

Определение 3 . События A и B называются независимыми, если

Ρ(A ∩B) = Ρ(A) Ρ(B).

Часто используется следующий принцип: причинно-независимые физические события моделируются независимыми событиями из вероятностного пространства. Однако наличие зависимости между событиями из вероятностного пространства далеко не означает, что моделируемые физические события связаны причинно-следственной связью.

случайное событие – {вынута бубновая дама}, поэтому Ρ(A ∩B) = 521 . Про-

ким образом, A и B независимы в теоретико-вероятностном смысле. Решим такую же задачу при условии, что в колоду добавлен джокер.

Очевидно, что при подсчете вероятностей изменятся лишь знаменатели, так как карт теперь стало 53. Следовательно, проверка равенства (1) дает следующий результат:

k

Ρ(Ai1 ∩ Ai2 ∩...∩ Aik ) = ∏Ρ( Aij ).

j=1

Пусть даны события A, B, C. Запишем, что означают попарная неза-

висимость случайных событий и независимость случайных событий в совокупности:

Попарная независимость – это выполнение первых трех условий. Если к тому же выполняется и условие 4, то это означает, что события независимы в совокупности. Очевидно, что независимость в совокупности сильнее, т. е. из нее вытекает попарная независимость. Обратное, вообще говоря, неверно. Это показывает следующий пример.

Пример 7 ( пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, зеленый и синий, а на четвертой есть все цвета. Рассмотрим следующие события:

A ={выпала грань, содержащая красный цвет};

B={выпала грань, содержащая зеленый цвет};

С={выпала грань, содержащая синий цвет}.

Пусть имеется два класса событий. Под независимостью этих классов событий по определению будем понимать, что любой представитель одного класса независим с любым представителем из другого. По аналогии для n классов случайных событий можем ввести определения попарной незави-

Далее описывается математическая модель n независимых испытаний, каждое из которых имеет конечное число исходов. Напомним, что под испытанием мы понимаем эксперимент со случайными исходами.

Поскольку математическая модель любого испытания с конечным числом исходов– конечноевероятностноепространство, товслучае n испытанийимеем

k =1,ni , i =1, n .

Вложим все эти пространства в следующее пространство:

Ω ={ω = (ω1, …, ωn ) : ωi Ωi , i =1, n}, A = P (Ω), Ρ(ω) = P1(ω1) … Pn (ωn ),

для любого A A положим

P(A) = ∑P(ω).

ω A

Заданная таким образом вероятность Ρ называется прямым произведением вероятностей Ρi и обозначается Ρ = Ρ1 × Ρ 2 ×…× Ρ n . Аналогично в

этом случае A = A1 × A2 ×…× An есть прямое произведение σ-алгебр.

ставим в соответствие событие Ai′ = Ω1 ×Ω2 ×…×Ωi−1 × Ai ×Ωi+1 ×…× Ωn

сматривая вместо событий Ai из вероятностного пространства (Ωi , Ai , Ρi ) изоморфные события Ai′ из подалгебры Ai′ вероятностного пространства (Ω, A , Ρ), мыполучимматематическую модель n независимых испытаний.

Схема Бернулли ( биномиальная схема) . Пусть проводятся n независимых испытаний. Известно, что в каждом испытании возможны два исхода: либо происходит событие A (успех), либо событие A не происходит (неуспех). Данная схема называется схемой Бернулли. При этом предполагается, что вероятности р успеха и q =1− p неуспеха не из-

менятся при переходе от испытания к испытанию. Простейший пример такой схемы – следующий эксперимент.

Пример 8 . Монета бросается n раз. Очевидно, что в любом испытании возможны два исхода – выпадение орла или решки.

Опишем математическую модель схемы Бернулли, т. е. построим соответствующее вероятностное пространство:

Ωi ={0,1}, Ai ={ ,{0},{1},Ωi}, Ρi (1) = p, Ρi (0) = q, p + q =1.

Тогдапрямоепроизведениевероятностных пространств (Ωi , Ai , Pi ) имеет вид

Ω ={(ω1, ω2 , ..., ωn ) = ω : ωi {0, 1}}, A = P (Ω),

n

Ρ(ω) = ∏pωi q1−ωi .

i=1

Для любого события А из A

P(A) = ∑P(ω).

ω A

Пусть событие В состоит в том, что при n независимых испытаниях в схеме Бернулли произошло ровно k успехов, т. е.

B ={ω = (ω1, ..., ωn ) Ω : ω1 +... +ωn = k, ωi = 0, 1, i =1, n}.

Тогда

Ρ(B) = Cnk pk qn−k = Pn (k), k = 0,n.

Вероятности Pn (k), k = 0, n, называются биномиальнымивероятностями.

Пример 9. Известно, что левши составляют 1 %. Найти вероятность того, что среди 200 человек найдется хотя бы трое левшей.

Для решения этой задачи используется схема Бернулли, в которой проводятся 200 независимых испытаний с вероятностью успеха в отдельном

Полиномиальная схема. Более сложная схема n независимых испытаний получается, когда при каждом испытании возможно появление

mk раз, m1 +... + mk = n. Вероятность события Вобозначается Pn (m1, ..., mk ) и называется полиномиальной вероятностью:

P (m , ..., m ) = n! pm1 ... pmk . n 1 k m1! ... mk ! 1 k

Пример 10. В некотором обществе блондины составляют 40 %, брюнеты – 30 %, шатены – 20 %, рыжие – 10 %. Случайно выбираются шесть человек. Найти вероятность того, что количество блондинов и шатенов среди них одинаково.

Очевидно, что возможны только четыре выборки, при которых число блондинов и шатенов одинаково: среди шести выбранных нет блондинов и