theory

Дискретные случайные величины (распределения)

Определение 6. Случайная величина ξ называется дискретной,

если c вероятностью 1 она принимает не более чем счетное число значений.

Задание такой случайной величины по определению равносильно зада-

нию закона распределения:

где pn = Ρ(ξ = xn ), ∑pn =1.

n

Закон распределения и функция распределения взаимно-однозначно определяют друг друга. Пусть ξ имеет закон распределения (4), причем

x1 < x2 < ... < xn < ... .

Тогда по определению функции распределения имеем

Следующий график (рис. 8) дает представление о найденной функции

Fξ (x).

Рис. 8

величины ξ. Тогда, учитывая, что P(ξ = x) = Fξ (x) − Fξ (x −0), легко восстанавливаем закон распределения:

Примеры дискретных случайных величин (распределений)

1. Случайная величина Бернулли ( распределение Бернулли). Закон распределения имеет вид

Такому распределению соответствует бросание, вообще говоря, несимметричной монеты, на одной стороне которой – 0, а на второй – 1.

2. Биномиальная случайная величина ( биномиальное распределение) . Закон распределения запишется следующим образом:

Число успехов в n испытаниях схемы Бернулли имеет биномиальное распределение.

3. Случайная величина Пуассона ( распределение Пуассона с параметром λ) . Закон распределения задается следующим образом:

где λ > 0 - параметр.

Распределение Пуассона носит название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний,

Позакону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию, числораспавшихся нестабильныхчастицит. д.

4. Геометрическая случайная величина ( геометрическое распределение) . Закон распределения имеет вид

Ρ(ξ = k) = p(1− p)k , 0 < p <1, k = 0, 1, 2, ... .

Пусть производятся независимые испытания, причем в каждом испытании возможны два исхода - «успех» с вероятностью p или «неуспех» с ве-

роятностью 1− p, 0 < p <1. Обозначим через ξ число испытаний до первого появления «успеха», тогда ξ будет геометрической случайной величиной.

5. Гипергеометрическая случайная величина ( гипергеометрическое распределение) . Закон распределения имеет вид

CkCn−−k

Ρ(ξ = k) = L N L , L ≤ N, n ≤ N, max(0, n + L − N ) ≤ k ≤ min(L, n).

CNn

Пусть имеется множество, состоящее из N элементов. Предположим, что L из них обладают нужным свойством. Оставшиеся N − L элементов этим свойством не обладают. Из данного множества случайным образом выбирается группа из n элементов. Пусть ξ – случайная величина, равная

количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством, тогда ξ будет гипергеометрической случайной величиной.

Абсолютно непрерывные случайные величины (распределения)

Определение 7. Распределение случайной величины ξ называется

абсолютно непрерывным, а сама случайная величина - абсолютно непрерывной случайной величиной, если для любого B B( )

−∞

Из представления (6) видно, что функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины является абсолютно непрерывной функцией.

−∞

2)pξ (t) ≥ 0 почти всюду по мере Лебега на прямой (следует из того, что Fξ - монотонно неубывающая функция).

3)Fξ′(x) = pξ(x) почти всюду по мере Лебега на прямой (следует из

представления (6)).

Теорема 5. Чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины ξ необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности.

Примерыабсолютнонепрерывныхслучайныхвеличин(распределений)

1 . Нормальная случайная величина, или случайная величина Гаусса ( нормальное распределение) . Случайная величина ξ

имеет нормальное распределение (распределение Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид

мальным распределением.

Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных явлений. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей (ошибка выборки, доверительный интервал, связь между признаками) широко использует нормальное распределение.

2. Экспоненциальная ( показательная) случайная величина ( экспоненциальное распределение) . Случайная величина ξ

Экспоненциальному распределению подчиняется время распада атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последействия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада атома за время x2 при условии, что перед этим он уже прожил время x1 , совпа-

дает с безусловной вероятностью распада того же самого атома за время x2 . Именно это свойство и представляет собой отсутствие последействия.

3. Равномерная на [a; b] случайная величина ( равномерное на отрезке [a; b] распределение) . Равномерно распределенная на от-

резке [a; b] случайная величина ξ имеет плотность распределения

Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a; b].

4. Случайная величина Коши ( распределение Коши). Случайная величина ξ имеет распределение Коши, если ее плотность предста-

вима в виде

Если a = 0, c =1, то данное распределение называется стандартным рас-

пределением Коши.

Распределение вероятностей отношения ξ1 ξ2 , где ξ1, ξ2 - независи-

мые стандартные нормальные случайные величины, совпадает со стандартным распределением Коши. Если случайная величина α равномерно распределена на отрезке [−π/ 2; π/ 2], то случайная величина a +c tg α имеет

распределение Коши.

5. Случайная величина Лапласа ( распределение Лапласа) . Случайная величина ξ имеет распределение Лапласа, если ее плотность пред-

ставима в виде

Если η – равномерно распределенная на отрезке [0; 1] случайная величина, то распределение случайной величины ξ = a − λ−1 sgn(η−0,5) ln η сов-

падает с распределением Лапласа с параметрами λ и a. Кроме того, разность двух независимых экспоненциальных величин с одинаковым параметром λ имеет распределение Лапласа с параметрами 0 и λ.

Сингулярные случайные величины (распределения)

Точку x называют точкой роста функции распределения Fξ(x), если для каждого ε > 0 выполняется неравенство

Fξ (x +ε) − Fξ(x −ε) > 0.

70 Глава 3. Случайные величины и их числовые характеристики

Определение 8. Случайная величина ξ имеет сингулярное распре-

деление, если ее функция распределения - непрерывная функция, множество точек роста которой имеет нулевую меру Лебега.

Примером такой случайной величины является случайная величина, функция распределения которой равна 0 на (−∞, 0) , равна 1 на (1, +∞) и

совпадает с функцией Кантора на отрезке [0, 1].

Таким образом, множество случайных величин (распределений) можно разбить на три класса: дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные величины (распределения). Любая случайная величина является комбинацией случайных величин из этих классов, что подтверждается теоремой Лебега.

Теорема 6 (теорема Лебега). Любая функция распределения F(x), x , единственным образом представима в виде

F(x) = a1F1(x) + a2 F2 (x) + a3F3 (x),

где F1(x) – дискретная функция распределения, F2 (x) – абсолютно непрерывная функция распределения, F3 (x) – сингулярная функция распределе-

чайная величина, тогда g(ξ) также является случайной величиной.

Рассмотрим несколько примеров, в которых требуется найти функцию распределения функции от случайной величины.

Пример 7. Пусть функция распределения случайной величины ξ рав-

плотность распределения η равна

Пример 9. Пусть ξ равномерно распределена на отрезке [0; 1]. Найдем функцию распределения случайной величины η =[−ln ξ].

Решение. Так как −ln ξ > 0, если ξ (0; 1), то Ρ(ξ ≤ x) = 0 при x < 0. Случайная величина [−ln ξ] принимает целые неотрицательные значения n:

Ρ([−ln ξ] = n) = Ρ(−ln ξ [n; n +1)) = Ρ(ξ [e−n−1; e−n )) =

= e−n −e−n−1 = (1−e−1)e−n.

Следовательно, η имеет геометрическое распределение с параметром p =1−e−1.

Пусть (Ω, A , Ρ) – произвольное вероятностное пространство, ξ1, …, ξn –

случайные величины, заданные на этом вероятностном пространстве.

Определение 9. Упорядоченный набор

ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2 (ω), …, ξn (ω))

называется n-мерной случайной величиной (случайным вектором).

Определение 10. Функция ξ : Ω → n такая, что для любого

B B( n )

ξ −1(B) A

называется n-мерной случайной величиной (случайным вектором).

Определения 9 и 10 эквивалентны.

Пример 10. Пусть бросаются две игральные кости. Тогда двумерной случайной величиной является вектор ξ = (ξ1, ξ2 ), где ξi – число очков, выпавших на i-й кости, i =1, 2.

Пример 11. На квадрат [0; 1] ×[0; 1] бросается частица. Декартовы координаты (ξ1, ξ2 ) точки образуют двумерную случайную величину.

Определение 11. Функция

Fξ : n →[0; 1]

называется функцией распределения n-мерной случайной величины (случайного вектора) ξ = (ξ1, …, ξn ), еслидлялюбоговектора x = (x1, …, xn ) n

Fξ (x) = Ρ(ω Ω : (ξ1(ω) ≤ x1) ∩(ξ2 (ω) ≤ x2 ) ∩…∩(ξn (ω) ≤ xn )).

Функцию распределения n-мерной случайной величины также называ-

ют многомерной функцией распределения.

Свойства многомерной функции распределения

1)Fξ монотонно не убывает по каждой переменной.

2)Fξ непрерывна справа по каждой переменной.

3)Fξ (x1, …, xk−1, − ∞, xk+1, …, xn ) = 0 для любого k =1, n.

4)Свойство согласованности функции распределения:

F(ξ1, ξ2 , …, ξk , …, ξn ) (x1, …, xk−1, + ∞, xk+1, …, xn ) = = F(ξ1, ξ2 , …, ξk−1, ξk+1, …, ξn ) (x1, …, xk−1, xk+1, …, xn )

для любого k =1, n.

Для одномерных случайных величин этих свойств было достаточно, чтобы функция, обладающая ими, была функцией распределения. Для n-мер-

−g(x1, …, xk−1, ak , xk+1, …, xn ).

то она является функцией распределения некоторой n-мерной случайной величины.

Определение 12. Функция

Pξ : B( n ) →[0; 1]

называется распределением вероятностей n-мерной случайной величины

Дискретные случайные векторы

Случайный вектор называется дискретным, если он принимает с вероятностью 1 не более чем счетное число значений.

Задать дискретный случайный вектор значит указать его закон распре-

деления, т. е. задать вероятности Ρ(ξ = x) для всех возможных значений x

случайного вектора ξ.

Пример 12. Полиномиальный закон распределения с пара-