§14. Пересечение простейших поверхностей плоскостью частного положения

Линия пересечения криволинейной поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую.

Построение линии пересечения производят нахождением ряда точек, ей принадлежащих. При этом используют алгоритм №2 (рис.1.97).

Рис.1.97

Вспомогательные плоскости следует проводить так, чтобы линия их пересечения с поверхностью проецировалась в виде простых линий (прямых, окружностей), а линии пересечения с заданной плоскостью - в виде прямых частного положения.

Начинать построение следует с нахождения характерных (опорных) точек - точек, определяющих границы видимых и невидимых участков проекций линии пересечения, высших и низших точек кривой и т.п. После этого в требуемом количестве определяют промежуточные точки.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Построить проекции линии пересечения поверхности σ с фронтально-проецирующей плоскостью α (рис.1.98).

Рис.1.98

Фронтальная проекция линии пересечения в приведенном примере совпадает с фронтальной проекцией плоскости α" и ограничена проекциями точек А"₁ и А"₂.

Горизонтальные проекции точек А'₁, А'₂, лежащих на очерковых образующих, определяются без дополнительных построений по линиям проекционной связи.

Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек вводим вспомогательную плоскость γ₁, перпендикулярную оси поверхности вращения σ. Плоскость γ₁ пересекает заданную поверхность по параллели, которая на фронтальную плоскость проецируется в виде прямой, а на горизонтальную - в вида окружности.

Плоскость γ₁, с заданной плоскостью α пересекается по прямой, перпендикулярной плоскости π₂.

На горизонтальной проекции отмечаем точки А'₃, А'₄ пересечения окружности и прямой, принадлежащие поверхности σ и плоскости α. На фронтальной проекции - А"₃, А"₄.

Вводя плоскости посредники γ₂, γ₃,...γ_n получим проекции необходимого количества промежуточных точек.

Соединив их, получаем горизонтальную проекцию плоской кривой - линии пересечения поверхности с плоскостью.

Пример 2. Построить проекции линии пересечения прямого кругового цилиндра горизонтально-проецирующей плоскостью α (рис.1.99).

Рис.1.99

Плоскость α, параллельна оси цилиндра, следовательно, она пересекает цилиндр по образующим. Горизонтальная проекция сечения совпадает с проекцией плоскости α'. Положение образующих (A, B) определяется на пересечении горизонтальной проекции плоскости α и проекции оснований. Проведя линии связи, определяем фронтальные проекции образующих (A", B").

Пример 3. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса σ с плоскостью β (рис.1.100).

Рис.1.100

Плоскость β - проецирующая, проходит через вершину конуса и пересекается с основанием. Такая плоскость пересекает конус по образующим SA и SB. Построение видно из чертежа.

Пример 4. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса σ горизонтально проецирующей плоскостью β (рис.1.101).

Рис.1.101

Плоскость β пересекает поверхность конуса σ по гиперболе. Горизонтальная проекция гиперболы совпадает с проекцией плоскости β'. Для построения высшей точки линии пересечения введем плоскость посредник γ₁β, проходящую через ось конуса. Эта плоскость пересечет конус по образующим. На образующей АS найдем искомую точку. Построение точек пересечения 2 и 3 заданной плоскости с основанием конуса видно из чертежа. Границей видимости участков кривой линии на плоскости π₂ является точка 4 - пересечение плоскости β с очерковой образующей конуса. Промежуточные точки 5 и 6 найдены с помощью горизонтальной плоскости-посредника γ₃.

Пример 5. Построить проекции линии пересечения прямого кругового конуса σ фронтально-проецирующей плоскостью α (рис.1.102).

Рис.1.102

Плоскость α пересекает поверхность конуса σ по параболе с вершиной в точке 3. Фронтальная проекция параболы совпадает с фронтальной проекцией α". Горизонтальную проекцию строим по точкам. Характерные точки 1 (1', 1"), 2 (2', 2") и 3 (3', 3") найдены без дополнительных построений. Для определения промежуточных точек 4 (4', 4") и 5 (5', 5") введена плоскость-посредник γ₁||π₁. Она пересечет конус по окружности, а плоскость α - по прямой l (l', l"), пересечение горизонтальных проекций которых и даст искомые точки 4 и 5.

При помощи плоскости посредника γ₂ найдены точки 6 (6', 6") и 7 (7', 7").

Пример 6. Построить проекции линии пересечения поверхности сферы σ плоскостью α (рис.1.103).

Рис.1.103

Плоскость α пересекает поверхность сферы по окружности, фронтальная проекция которой совпадает с фронтальной проекцией плоскости (α"). Горизонтальную проекцию окружности - эллипс строим по главным осям: большой осью является горизонтальная проекция (С'D') диаметра CD, перпендикулярного к фронтальной плоскости проекций, а малой осью - горизонтальная проекция (А'B') диаметра АВ , расположенного параллельно фронтальной плоскости проекций. По найденным главным осям можно построить эллипс - горизонтальную проекцию окружности - линии пересечения сферы плоскостью. Промежуточные точки эллипса можно также найти, вводя вспомогательные плоскости γ (см. рис.1.103б). Точки C (C', C") и D (D', D"), отделяющие видимую от невидимой части линии пересечения, найдены без дополнительных построений.