37

неизвестного (оцениваемого) параметра Q записываем M(X)= ∞∫xf (x,Q)dx =ф(Q).

−∞

Теперь решают уравнение хв=ф(Q) относительно Q и находят точечную оценку. Пример 21.3. По выборке {xi} методом моментов найдите для параметра λ , т.к. предполагается, что генеральная распределена по показательному

закону.

максимума и в то же время оценка для Q.

Достоинства такой оценки : оценка состоятельна (однако может иметь смещение); оценка сама распределена нормально асимптотически ( а при больших объемах выборки приближенно нормальна); такая оценка имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками; если для Q найдена (существует) эффективная оценка , то уравнение правдоподобия имеет

является большой объем вычислительной работы.

Комментарий. Если Х – дискретная СВ, то вместо плотности используют просто p(x,Q).

Если оцениваемых параметров много, то приходится решать систему уравнений.

21.7. Точечные оценки числовых характеристик генеральной

Пусть сделана выборка объема n. Так как объем генеральной неограничен, то в качестве истинного значения измеряемого признака Х естественно взять математическое ожидание М(Х), которое также неизвестно и потому в качестве

37

38

оценки истинного значения измеряемого признака Х принято брать среднее выборочное хв. Можно показать, что такая точечная оценка является несмещенной, а также справедливо, что xв →Хг при n → ∞ т.е.она и

Полученная формула справедлива при n<30. Если же n>30, то n/(n-1)стремится к 1 и тогда S2=Dв=Dг. Доказано, что S2- эффективная и состоятельная оценка генеральной дисперсии. Множитель n/(n-1) устраняет возможное смещение .

Пример 21.5. к методу правдоподобия.(Герасимович, стр 173).

Имеется выборка {хi} i=1, …,n признака Х(генеральной), распределен-

Пример 21.6. Имеется выборка {хi} i=1, …,n признака Х(генеральной), распределенного показательно. Оценить параметры распределения.

Решение. Т.к. закон известен f(x)=Qe-Qx и содержит один параметр Q, то

38

2.8. Интервальные оценки параметров распределения Определение. Оценка, определяемая двумя числами – концами интервала,

накрывающего искомый (оцениваемый) параметр с заданной надежностью (вероятностью), называют интервальной .

Пусть оценивается некоторый параметр Q – величина неизвестная, но неслучайная. Пусть некоторым методом получена несмещенная точечная оценка Q*. Естественное желание оценить возможную ошибку при замене величины Q величиной Q*. Ясно также, что Q* тем лучше, чем меньше величина Q −Q* . Если потребовать, чтобы Q −Q* <δ , то δ называют

точность оценки .

Обычно в статистике говорят не о точности оценки, а о вероятности выполнения неравенства Q −Q* <δ . Эту вероятность называют доверительной вероятностью (надежностью оценки) , с которой выполняется указанное неравенство. Ее обозначают γ =Р( Q −Q* <δ ) и рассматривают это равенство. Ес-

тественно, при раскрытии неравенства получают интервал Q*-δ < Q <Q*+δ . Фактически этот интервал и есть интервальная оценка, найденная с требуемой доверительной вероятностью (надежностью).

Следует отметить. Что построенный интервал (интервальная оценка) является подвижным, в то время как оцениваемый параметр остается неподвижным (аналогом может служить бабочка, пойманная непрозрачным сачком – она поймана сачком, но ее нет еще в руках). Эта ситуация противоположна задаче, которая была решена ранее, когда мы находили P(a<X<b) - вероятность попадания значения случайной величины Х в фиксированный интервал (а;в) , когда подвижным является возможное значение величины Х.

Иногда дают другое толкование доверительного интервала (интервальной оценки) – это интервал значений параметра Q, совместимый с данными эксперимента и не противоречащий им .

В статистике рассматривают различные доверительные интервалы (интервальные оценки параметров). Метод построения доверительных интервалов разработан Ю. Нейманом на основании идей Р.Фишера.

Рассмотрим некоторые типовые доверительные интервалы (интервальные оценки).

А. Доверительный интервал для оценки параметра а нормального распределения при известном среднеквадратическом отклонении σ .

На основании выборки найдено хв . Естественно, что оно меняется от выборки к выборке, т.е. само является случайной величиной. При этом

39

40

меняются и варианты. Каждую из них можно рассматривать как реализацию одинаково распределенных случайных величин, имеющих одно и то же математическое ожидание М(Хi)=a (которое и нужно оценить, т.к. оно неизвестно) и одно для всех среднеквадратическое отклонение σ, которое по условию известно.

Полагаем доказанным, что, если СВ распределена нормально, то выборочная средняя, найденная в независимых испытаниях, также распределена нормально. В этом случае среднеквадратическое σ (хв) выборочного среднего и среднеквадратическое σ каждого экспериментального

связаны соотношением σ (хв)= σn , где n - объем выборки. Для математических

ожиданий имеем М(хв)=а. Потребуем гарантий, что γ =Р( хв −а <δ ) (потребуем, чтобы доверительная вероятность была равна γ ). Т.к. предполагаемое

δ σ

распределение гарантировано нормальное, то имеем γ =2Ф( σ ). Но σ (хв)= n , а

точечной оценкой среднего генерального является среднее выборочное хв.

часов. Требуется с надежностью 0,95 найти интервал для времени горения ламп. Если σ =40 часов.

Решение. Интервал равен 999<a<1007.

Б.Доверительный интервал для оценки σ нормального распределения. (или что то же самое - для дисперсии σ 2).

Пусть признак Х(генеральная) распределен нормально. Полагаем, что получена точечная оценка для σ , равная s. Требуется получить интервальную

40

интервальную оценку для б нормального распределения. Величина s2(n-1)/б2 распределена по закону χ 2 (хиквадрат) с n-1 степенями свободы и потому ее

C.Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднеквадратическом.

Пусть нам известно (как и в случае А) , что генеральная Х распределена нормально. Нужно установить значение параметра а этого нормального распределения, если неизвестно среднеквадратическое б. На основании выборки строим случайную величину Т, значения которой t связаны с

величиной Х так: Т= хsв −nа - распределение Стьюдента. Плотность вероятности

41