46
x − y
Zвыбр = D( X ) D(Y ) . Затем по таблице функции Лапласа Ф(х) найти Zкрит
n + m
из равенства Ф(Zкрит)=0,5(1-2α ).
Если Zвыбр < Zкрит , то нет оснований отвергать основную гипотезу; если Zвыбр > Zкрит , то основную гипотезу отвергают (данные эксперимента не
позволяют сделать вывод о ее справедливости).
Правило 3. Требуется проверить нулевую гипотезу Но: о равенстве математических ожиданий М(Х)=М(У) при альтернативной гипотезе Н1 – генеральные средние связаны М(Х)< М(Y) .
Вычисляем наблюдаемое значение критерия Zвыбр по формуле x − y
Zвыбр = D( X ) D(Y ) . Затем по таблице функции Лапласа Ф(х) найти Zкрит
n + m
из равенства Ф(Zкрит)=0,5(1-2α ).
Если Zвыбр >- Zкрит , то нет оснований отвергать основную гипотезу; если Zвыбр < -Zкрит , то основную гипотезу отвергают (данные эксперимента не
позволяют сделать вывод о ее справедливости).
21.10.3.Проверка гипотезы о равенстве двух математических ожиданий двух нормально распределенных СВ, дисперсии которых НЕизвестны и равны. (стр215).
Исследуются две нормально распределенные генеральные (признаки). Извлечены независимые большие выборки объемами n и m (n<30 , m<30).
Вычислены средние выборочные x и y . Найдены исправленные выборочные sX2 и sY2 . Генеральные дисперсии D(X) и D(Y) НЕизвестны , но предполагаются
одинаковыми.
Требуется по заданному уровню значимости α проверить основную гипотезу Но о равенстве математических ожиданий М(Х)=М(У) (о равенстве генеральных средних).
Правило 1. Требуется проверить нулевую гипотезу Но: о равенстве математических ожиданий М(Х)=М(У) при альтернативной гипотезе Н1 – генеральные средние связаны М(Х) ≠М(Y) (не равны).
Проверка. Вычисляем наблюдаемое значение критерия Т
|
|
|
− |
|
|
nm(n + m − 2) |
|
Тнабл= |
|
x |
y |
. По таблице Т-распределения |
|||
|
|
n + m |
|||||
(n −1)s2 |
+ (m −1)s2 |
||||||
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
Стьюдента по уровню значимости α , размещенному в верхней строке таблицы
46
47
Приложения, и числу степеней свободы k=n+m-2 находим критическую точку
tдвустор.кр(α ,k). Если Тнабл < tдвустор.кр(α ,k), то нет оснований отвергать основную гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. Требуется проверить нулевую гипотезу Но: о равенстве математических ожиданий М(Х)=М(У) при альтернативной гипотезе Н1 – генеральные средние связаны М(Х)> М(Y) .
Проверка. Вычисляем наблюдаемое значение критерия Т
|
|
|
− |
|
|
nm(n + m − 2) |
|
Тнабл= |
|
x |
y |
. По таблице Т-распределения |
|||
|
|
n + m |
|||||
(n −1)s2 |
+ (m −1)s2 |
||||||
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
Стьюдента по уровню значимости α , размещенному в нижней строке таблицы Приложения, и числу степеней свободы k=n+m-2 находим критическую точку
tправотор.кр(α ,k). Если Тнабл< tправостор.кр(α ,k), то нет оснований отвергать основную гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.
Правило 3. Требуется проверить нулевую гипотезу Но: о равенстве математических ожиданий М(Х)=М(У) при альтернативной гипотезе Н1 – генеральные средние связаны М(Х)< М(Y) .
Проверка. Вычисляем наблюдаемое значение критерия Т
|
|
|
− |
|
|
nm(n + m − 2) |
|
Тнабл= |
|
x |
y |
. По таблице Т-распределения |
|||
|
|
n + m |
|||||
(n −1)s2 |
+ (m −1)s2 |
||||||
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
Стьюдента по уровню значимости α , размещенному в нижней строке таблицы Приложения, и числу степеней свободы k=n+m-2 находим критическую точку
tправостор.кр(α ,k) и полагают tлевостор.кр =- tправостор.кр. Если Тнабл> tлеввостор.кр(α ,k), то
нет оснований отвергать основную гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.
Примечание. Если выборочные дисперсии различны sX2 ≠ sY2 , то перед
началом проверки следует проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий по п.2.10.1.
Пример. (стр216).По двум независимым выборкам с объемами n=12 и m=18 для нормально распределенных признаков Х и У найдены: средние
выборочные x =31,2 и y =29,2 , исправленные выборочные дисперсии sX2 =0,84 и sY2 =0,40. Требуется при уровне значимости α =0,05 проверить гипотезу о том
что М(Х)=М(У) при альтернативной гипотезе М(Х) ≠М(Y).
Решение. В данном случае выборки малы и можно применять предложенный алгоритм статистисеской оценки выдвинутой гипотезы. Т.к. исправленные выборочные дисперсии не равны, то сначала проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий по п.2.10.1.
При двух независимых выборках, с объемами n=12 и m=18 найдем sX2
отношение |
|
=2,1. Дисперсии |
различаются значительно. |
Поэтому |
s2 |
||||
|
Y |
|
|
|
альтернативной |
гипотезой можно |
взять Н1: D(X)>D(Y) . По |
таблице |
|
47
48
Приложения находим Fкрит (0,05,11, 17)=2,41. Т.к. 2,1=Fнабл <2,41= Fкрит , то нет оснований отвергать гипотезу о равенстве дисперсий. Т.е. выборочные дисперсии различаются незначимо.
|
|
|
− |
|
|
nm(n + m − 2) |
|
После этого вычисляем Тнабл= |
|
x |
y |
=7,1. |
|||
|
|
n + m |
|||||
(n −1)s2 |
+ (m −1)s2 |
||||||
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
При гипотезе М(Х) ≠М(Y) находим tдвустор.кр(0,05; 12+18-2)=2,05. Т.к. |
|
||||||
Тнабл=7,1>2,05=tдвустор.кр(0,05; 12+18-2), то гипотезу о равенстве средних генеральных отвергаем. Иначе, выборочные средние различаются значительно.
21.10.4. Проверка гипотезы о равенстве среднего выборочного и гипотетического генерального среднего для нормально распределенной СВ.
Из нормально распределенной генеральной (признака Х) извлечена с известным среднеквадратическим отклонением σ , обработана выборка объема
n и найдено среднее выборочное x . Требуется по заданному уровню значимости α проверить основную гипотезу Но о равенстве математического
ожидания (равенстве генерального среднего) а нормально распределенной генеральной Х некоторому гипотетическому (предполагаемому) ао.
Правило 1. Требуется проверить нулевую гипотезу Но: а= ао при конкурирующей гипотезе Н1 : а≠ао.
|
Проверка. Вычисляем наблюдаемое значение критерия U по формуле |
|
|
(x − ao ) |
n |
Uнабл= |
σ |
. По таблице функции Ф(х) Лапласа находим точку uкр дву- |
|
|
|
сторонней критической области из равенства Ф(uкр)=0,5(1-α ). Если
Uнабл < uкр, то нет оснований отвергать основную гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. Требуется проверить нулевую гипотезу Но: а= ао при конкури - рующей гипотезе Н1 : а>ао.
Проверка. Вычисляем наблюдаемое значение критерия U по формуле
(x − ao ) 
n
Uнабл= |
σ |
. По таблице функции Ф(х) Лапласа находим точку uкр право- |
|
|
сторонней критической области из равенства Ф(uкр)=0,5(1-2α ). Если Uнабл< uкр, то нет оснований отвергать основную гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.
Правило 3. Требуется проверить нулевую гипотезу Но: а= ао при конкури - рующей гипотезе Н1 : а<ао.
Проверка. Вычисляем наблюдаемое значение критерия U по формуле
(x − ao ) 
n
Uнабл= |
σ |
. По таблице функции Ф(х) Лапласа находим |
|
|
вспомогательную точку uкр правосторонней критической области из равенства Ф(uкр)=0,5(1-2α ). Затем строим левостороннюю критическую область uкр’=-
48
49
uкр.Если Uнабл>uкр', то нет оснований отвергать основную гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.
Пример. По выборке объема n=16, извлеченной из нормальной генеральной с известным σ =5, при уровне значимости α =0,05 проверить гипотезу а= ао=20 при конкурирующей гипотезе а≠20. Затем найти мощность двустороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значения генеральной средней а1=24.
Решение. Т.к. мощность критерия при известном среднеквадратическом отклонении зависит от вида конкурирующей гипотезы:
-при конкурирующей гипотезе а≠ао для гипотетического а=а1 мощность двустороннего критерия 1- β =1-[Ф(uкр- λ)+ Ф(uкр+λ)] (**), для которого uкр
n
находят из равенства Ф(uкр)=0,5(1-α ), а λ=( а1- ао) σ . При разных а1 функция мощности двустороннего критерия π1 ( а1)=1-[Ф(uкр- λ)+ Ф(uкр+ λ)];
|
1 |
x |
z2 |
|
|
|
Ф(х)= |
|
∫e− |
|
dz; |
|
|
2π |
2 |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
-при конкурирующей гипотезе a>ао для гипотетического а=а1>ао |
||||||
мощность одностороннего критерия 1- β =0,5-Ф(uкр- λ) |
(*), для которого uкр |
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
находят |
из |
равенства |
Ф(uкр)=0,5(1-2α ), а λ=( а1- ао) σ . При разных а1 |
|||
функция мощности двустороннего критерия π1 ( а1)=0,5-Ф(uкр- λ). |
||||||
В |
нашем |
случае |
конкурирующая гипотеза а≠ао |
для гипотетического |
||
а=а1=24 используем формулу (**). Используем критическую точку uкр=1,96. Затем вычислим λ, учитывая по условию а1=24, ао=20, n=16 ,σ =5 λ=( а1-
n |
16 |
-ао) σ =(24-20) |
5 =3,2. Подставим uкр=1,96 и λ=3,2 в формулу (*) получим |
1- β =1-(Ф(1,96-3,2)+Ф(1,96+3,2))=1+0,3925-0,5=0,8925.
Более сложные случаи рассмотрены на стр.222.
21.11.Проверка непараметрических гипотез по критерию хи-квадрат Пирсона. Пусть дана и обработана выборка из некоторой генеральной Х.
Требуется проверить гипотезу о том, что генеральная распределена нормально. Рассмотрим два случая :
А-выборка представлена равноотстоящими выриантами и соответствующими им частотами (дискретным статистическим распределением по частотам) и В- выборка представлена интервалами одинаковой длины изменения вариант и
соответствующими им частотами (интервальным статистическим распределением по частотам).
Рассмотрим А. Тогда нужно:
49
50
nh
Вычислить xв и σв . Построить таблицу теоретических частот ni= σв ф(ui), где
|
xi |
− |
|
|
|
|
h- шаг вариаций, n - объем выборки, ui)= |
σв |
|
- условная варианта, |
|||
|
|
|
|
|
||
|
σ |
в |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
e− |
z2 |
|
|
ф(х)= |
2π |
2 |
. |
Составить таблицу для сравнения теоретических и |
|
|
|
|
|
|
|
эмпирических частот по критерию Пирсона, по которой вычисляют
наблюдаемое |
значение |
критерия |
χ2 |
(хи-квадрат) по формуле |
|||
χ2 |
набл= ∑ |
(ni |
− ni' )2 |
. По таблице критических точек χ2 -распределения по |
|||
|
|
||||||
|
ni' |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=s-3 |
, где s число |
||||
групп |
(разных значений вариант) выборки находим χ2 |
кр(α ;k) |
для правой |
||
критической области. |
|
|
|||
Если |
χ2 |
набл< χ2 |
кр - нет оснований отвергать основную гипотезу (т.е. |
||
эмпирические и теоретические частоты отличаются незначимо); в противном случае основную гипотезу отвергают.
Примечание. Малочисленные частоты (для которых ni<5) при расчетах следует объединять в один интервал и учесть это при подсчете степеней свободы k.
Рассмотрим Б. Тогда нужно: интервальное статистическое распределение преобразовать к дискретному, взяв в качества вариант середины соответствующих интервалов. Затем выполнить схему для случая А.
50